Rectas coincidentes

Aquí encontrarás todo sobre las rectas coincidentes: qué significan, cómo determinar si dos rectas son coincidentes, sus propiedades,… Además, podrás ver ejemplos y ejercicios resueltos de rectas coincidentes.

¿Qué son dos rectas coincidentes?

Dos rectas coincidentes son dos líneas que tienen todos sus puntos en común. Por lo tanto, dos rectas coincidentes son completamente idénticas.

Por ejemplo, a continuación tienes representadas gráficamente dos rectas coincidentes, lo que pasa es que solo se ve una de ellas porque se solapan (son iguales).

Dos rectas coincidentes siempre tienen la misma dirección, por lo que geométricamente forman un ángulo de 0º.

Por otra parte, recuerda que en el plano existen 4 posibilidades dentro del concepto de posición relativa entre dos rectas: dos rectas pueden ser coincidentes, paralelas, secantes y perpendiculares. Si quieres puedes consultar qué significa cada tipo de recta y la diferencia entre ellas en estos 3 enlaces.

¿Cómo saber si dos rectas son coincidentes?

Saber cuándo dos rectas son coincidentes depende de si estamos trabajando con dos coordenadas (en R2) o con tres coordenadas (en R3).

Determinar dos rectas coincidentes en el plano

Cuando estamos operando en un espacio bidimensional (2D) es muy sencillo ver cuándo dos rectas son coincidentes y cuándo no a partir de la ecuación implícita o de la ecuación explícita de la recta.

A parte de estas dos maneras, también se puede comprobar si dos rectas son coincidentes resolviendo el sistema de ecuaciones formado por las ecuaciones de las dos rectas (si el sistema da infinitas soluciones implica que son coincidentes). Pero este procedimiento es más complicado y largo, así que no lo explicaremos detalladamente porque es mejor hacerlo a partir de los coeficientes de la ecuación implícita o de la ecuación explícita.

A partir de la ecuación implícita (o general) de la recta

Una manera de hallar si dos rectas son coincidentes es a través de la ecuación implícita de la recta, también conocida como ecuación general o cartesiana.

La ecuación implícita de la recta corresponde a la siguiente expresión:

 Ax+By+C=0

Pues si dos rectas tienen los tres coeficientes (A, B y C) proporcionales, implica que son coincidentes.

 r: \ Ax+By+C=0 \qquad \qquad s: \ A'x+B'y+C'=0

 \cfrac{A}{A'} = \cfrac{B}{B'}= \cfrac{C}{C'} \quad \longrightarrow \quad \bm{r} \text{ y } \bm{s} \text{ son coincidentes}

Por ejemplo, las siguientes dos rectas son coincidentes:

 r: \ 4x+6y-2=0 \qquad \qquad s: \ 2x+3y-1=0

Y son coincidentes porque los parámetros A, B y C son proporcionales entre sí:

 \cfrac{4}{2} = \cfrac{6}{3}= \cfrac{-2}{-1}= 2

A partir de la ecuación explícita de la recta

Otro método para averiguar si dos rectas son realmente coincidentes es con la ecuación explícita de la recta. Recordemos que la ecuación explícita de la recta es de la siguiente forma:

 y=mx+n

Si dos rectas tienen la misma pendiente (coeficiente m) y la misma ordenada en el origen (coeficiente n), se trata de dos rectas coincidentes.

 r: \ y=m_rx+n_r \qquad \qquad s: \ y=m_sx+n_s

 \left.\begin{array}{c} m_r = m_s \\[2ex] n_r=n_s \end{array} \right\} \longrightarrow \ \bm{r} \text{ y } \bm{s} \text{ son  coincidentes}

Por ejemplo, las siguientes dos rectas son coincidentes, debido a que tienen pendientes y ordenadas en el origen equivalentes:

 r: \ y=3x-1 \qquad \qquad s: \ y=3x-1

Cabe destacar que si tuvieran la misma pendiente pero diferente ordenada en el origen serían rectas paralelas y no coincidentes.

Finalmente, como puedes ver en el ejemplo, las dos rectas coincidentes tienen la misma ecuación explícita. Esto es aplicable a cualquier tipo de ecuación de la recta: si dos rectas coinciden en su ecuación, significa que son coincidentes.

Hallar dos rectas coincidentes en el espacio

Identificar dos rectas coincidentes en el espacio (en R3) es diferente que en el plano cartesiano (en R2), ya que se deben hacer cálculos con una coordenadas más. Así pues, veamos cómo se hace:

Dadas las ecuaciones de dos rectas distintas en el espacio:

 \displaystyle r: \ \begin{cases} A_1x+B_1y+C_1z+D_1=0 \\[2ex]A_2x+B_2y+C_2z+D_2=0 \end{cases} \qquad \qquad s: \ \begin{cases} A_1'x+B_1'y+C_1'z+D_1'=0 \\[2ex]A_2'x+B_2'y+C_2'z+D_2'=0 \end{cases}

Y sean M y M’ las matrices formadas por los coeficientes de las rectas:

 \displaystyle M=\begin{pmatrix} A_1&B_1&C_1\\[1.1ex]A_2&B_2&C_2 \\[1.1ex]A_1'&B_1'&C_1'\\[1.1ex]A_2'&B_2'&C_2' \end{pmatrix}\qquad \qquad M'=\begin{pmatrix} A_1&B_1&C_1&D_1 \\[1.1ex]A_2&B_2&C_2&D_2 \\[1.1ex]A_1'&B_1'&C_1'&D_1'\\[1.1ex]A_2'&B_2'&C_2'&D_2' \end{pmatrix}

Entonces, si el rango de las matrices M y M’ es igual a 2, las dos rectas son coincidentes.

 rg(M)=rg(M') = 2 \ \longrightarrow \ \bm{r} \text{ y } \bm{s} \text{ son coincidentes}

Veamos un ejemplo de rectas coincidentes en el espacio mediante un ejercicio resuelto paso a paso:

  • Determina si las siguientes dos rectas son coincidentes o no:

 \displaystyle r: \ \begin{cases} x+2y+z+3=0 \\[2ex]3x+4y+z+8=0 \end{cases} \qquad \qquad s: \ \begin{cases} x-z+2=0 \\[2ex]2y+2z+1=0 \end{cases}

La matriz M y la matriz ampliada M’ de los coeficientes de las rectas son:

 \displaystyle M=\begin{pmatrix} 1&2&1 \\[1.1ex]3&4&1 \\[1.1ex]1&0&-1\\[1.1ex]0&2&2\end{pmatrix}\qquad \qquad M'=\begin{pmatrix} 1&2&1&3 \\[1.1ex]3&4&1&8 \\[1.1ex]1&0&-1&2\\[1.1ex]0&2&2&1\end{pmatrix}

Una vez hemos construido las dos matrices, debemos calcular el rango de cada matriz:

 rg(M)=2 \qquad \qquad rg(M') = 2

Los rangos de las dos matrices son equivalentes y, además, valen 2. Por lo tanto, las dos rectas son coincidentes.

 rg(M)=rg(M') = 2 \ \longrightarrow \ \bm{r} \text{ y } \bm{s} \text{ son coincidentes}

Propiedades de las rectas coincidentes

Las rectas coincidentes tienen las siguientes características:

  • Los vectores directores (vector que indica la dirección de la recta) de dos rectas coincidentes son proporcionales y, por tanto, linealmente dependientes. Esta propiedad también la tienen las rectas paralelas.
  • Del mismo modo, los vectores directores de dos rectas coincidentes tienen la misma dirección.
  • Dos rectas coincidentes se representan en la gráfica con una misma recta.
  • En ese sentido, dos rectas coincidentes tienen todos los puntos comunes. Y, en consecuencia, los puntos de corte con los ejes son los mismos.
  • Evidentemente, dos rectas coincidentes son coplanarias, es decir, están contenidas en un mismo plano.

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