Cómo calcular el módulo de un vector

En esta página verás la explicación del módulo de un vector y cómo calcularlo con su fórmula. También podrás ver cómo hallar el módulo a partir de dos puntos: su origen y su extremo. Además, encontrarás cómo determinar las componentes de un vector a partir de su módulo y las propiedades del módulo de un vector. Incluso, podrás practicar con ejemplos, ejercicios y problemas resueltos paso a paso.

¿Qué es el módulo de un vector?

El módulo de un vector representa la distancia que hay desde su origen hasta su extremo. Por lo tanto, el módulo de un vector es igual a la longitud de dicho vector.

modulo de un vector longiutd

Como ves en la representación gráfica anterior, el módulo de un vector se simboliza con una barra vertical a cada lado del vector: \lvert \vv{AB}\rvert

Por otro lado, el módulo de un vector es lo mismo que la norma de un vector, así que quizás también lo veas escrito de esta manera. Por eso hay matemáticos que también representan el módulo de un vector con dos barras verticales a cada lado: \lvert \lvert \vv{AB}\rvert\rvert

Fórmula del módulo de un vector

Para hallar el módulo de un vector en el plano se debe aplicar la siguiente fórmula:

Para determinar el módulo de un vector tenemos que calcular la raíz cuadrada (positiva) de la suma de los cuadrados de sus componentes. Es decir, si tenemos el siguiente vector:

\vv{\text{u}} = (\text{u}_x,\text{u}_y)

Su módulo es:

\displaystyle \lvert \vv{\text{u}} \rvert = \sqrt{ \text{u}_x^2+\text{u}_y^2}

Por ejemplo, vamos a calcular el módulo del siguiente vector utilizando la fórmula:

\vv{\text{u}} = (4,3)

\lvert \vv{\text{u}} \rvert =\sqrt{4^2+3^2} = \sqrt{16+9}=\sqrt{25} = \bm{5}

Calcular el módulo de un vector con las coordenadas de su origen y su extremo

Acabamos de ver cómo se determina el módulo de un vector cuando sabemos sus componentes, pero ¿y si solo conocemos los puntos donde empieza y donde termina?

Entonces, para calcular el módulo de un vector a partir de las coordenadas de su origen y su extremo debemos seguir estos dos pasos:

  1. Primero hallamos las componentes del vector. Para ello, tenemos que restar el extremo menos el origen.
  2. Y luego calculamos el módulo del vector obtenido con la fórmula que hemos visto en el apartado anterior.

Veamos cómo se hace mediante un ejemplo:

  • Calcula el módulo del vector que tiene como origen el punto A(2,1) y como extremo el punto B(-1,4).

Primero tenemos que hallar las componentes del vector, así que restamos su extremo menos su origen:

\vv{AB}=B-A=(-1,4)-(2,1)=(-3,3)

Una vez sabemos el vector, calculamos su módulo mediante la fórmula del módulo de un vector:

\begin{vmatrix} \vv{AB} \end{vmatrix} =\sqrt{(-3)^2+3^2} = \sqrt{9+9}=\sqrt{18}

Y dejamos el resultando en forma de raíz cuadrada, ya que no es exacta.

Cómo calcular las componentes de un vector a partir de su módulo

Hemos visto cómo sacar el módulo de un vector a partir de sus componentes, pero también se puede hacer el proceso inverso. Es decir, podemos calcular las componentes de un vector a través de su módulo.

El proceso que permite encontrar las componentes de un vector a partir de su módulo se denomina descomposición vectorial. Así pues, para descomponer un vector necesitamos su módulo, evidentemente, y el ángulo que forma con el eje de las abscisas (eje X).

De manera que se pueden calcular las componentes X e Y del vector con las razones trigonométricas:

descomposicion de un vector en matlab

Como puedes ver en la imagen, el módulo de un vector forma un triángulo rectángulo con sus componentes, por lo que se pueden aplicar las fórmulas elementales de la trigonometría.

Hay que tener en cuenta que, a diferencia del módulo de un vector, sus componentes sí que pueden ser negativas porque el seno y el coseno pueden tomar valores negativos.

A modo de ejemplo, vamos a resolver la descomposición vectorial del vector cuyos módulo y ángulo con el eje OX son:

 \lvert \vv{\text{u}} \rvert = 10 \qquad \alpha = 60º

La componente horizontal del vector es igual al módulo multiplicado por el coseno del ángulo:

 \text{u}_x= \lvert \vv{\text{u}}\rvert \cdot \text{cos}(60º)= 10 \cdot 0,5 = 5

Y la componente vertical del vector es igual a la multiplicación del módulo por el seno del ángulo:

 \text{u}_y= \lvert \vv{\text{u}}\rvert \cdot \text{sen}(60º)= 10 \cdot 0,87 = 8,7

De forma que el vector es el siguiente:

 \vv{\mathbf{u}}\bm{ = (5 \ ,\ 8,7)}

Propiedades del módulo de un vector

El módulo es un tipo de operación vectorial que tiene las siguientes características:

  • El módulo de un vector nunca puede ser negativo, siempre será igual o mayor que 0.

 \lvert \vv{\text{u}} \rvert \geq 0

De hecho, el único vector que existe de módulo cero es el vector nulo, es decir, el vector  \vv{\text{u}}= (0,0) .

  • El módulo del producto de un vector por un número real (o un escalar) es equivalente a multiplicar el valor absoluto del escalar por el módulo del vector. Por lo tanto, se cumple la siguiente igualdad:

 \lvert k \cdot \vv{\text{u}} \rvert = \lvert k  \rvert \cdot \lvert \vv{\text{u}} \rvert

  • Se verifica la desigualdad triangular: el módulo de la suma de dos vectores es menor o igual que la suma de sus módulos por separado.

 \lvert \vv{\text{u}}+\vv{\text{v}} \rvert \leq \lvert\vv{\text{u}} \rvert+\lvert\vv{\text{v}} \rvert

  • Además, el módulo de la suma de dos vectores está relacionado con el producto escalar a través de la siguiente ecuación:

 \lvert \vv{\text{u}}+\vv{\text{v}} \rvert = \sqrt{\lvert \vv{\text{u}} \rvert ^2+\lvert \vv{\text{v}} \rvert ^2 +2\cdot \vv{\text{u}}\cdot \vv{\text{v}} \vphantom{\sqrt{x^2}}}

Vector unitario

En matemáticas, un vector unitario es un vector cuyo módulo es igual a uno.

 \lvert \vv{\text{u}} \rvert=1

Por lo tanto, la longitud de un vector unitario es una unidad.

Puede parecer muy difícil que un vector tenga como módulo exactamente 1, pero en realidad es fácil de hallar este tipo de vector:

Para hallar el vector unitario de cualquier vector simplemente tenemos que dividirlo entre su módulo:

 \vv{\text{v}}_u = \cfrac{\vv{\text{v}}}{\lvert \vv{\text{v}} \rvert}

Donde \vv{\text{v}}_u es el vector unitario de \vv{\text{v}}, y \lvert \vv{\text{v}} \rvert su módulo.

Al vector unitario también se le llama versor o vector normalizado.

Además, el vector unitario tiene la misma dirección y el mismo sentido que el vector original.

Por ejemplo, vamos a calcular el vector unitario del siguiente vector:

 \vv{\text{v}}=(1,-1)

Para normalizar el vector primero tenemos que calcular su módulo:

 \lvert \vv{\text{v}} \rvert=\sqrt{1^2+(-1)^2} = \sqrt{2}

Y, finalmente, calculamos el vector unitario dividiendo el vector original entre su módulo:

\displaystyle \vv{\text{v}}_u = \cfrac{\vv{\text{v}}}{\lvert \vv{\text{v}} \rvert} = \frac{(1,-1)}{\sqrt{2}}= \bm{\left(\frac{1}{\sqrt{2}},-\frac{1}{\sqrt{2}} \right)}

Ejercicios resueltos de módulos de vectores

Ejercicio 1

Calcula el módulo del siguiente vector:

 \vv{a}=(6,8)

Para calcular el módulo del vector tenemos que aplicar su fórmula:

 \lvert\vv{a} \rvert= \sqrt{6^2+8^2} =\sqrt{36+64} = \sqrt{100} = \bm{10}

 

Ejercicio 2

Ordena los siguientes vectores de menor a mayor longitud

 \vv{a}=(4,-2)

 \vv{b}=(3,1)

 \vv{c}=(5,12)

 \vv{d}=(-6,-3)

La longitud de un vector es igual a su módulo. Por lo tanto, debemos calcular los módulos de todos los vectores:

 \left|\vv{a}\right|= \sqrt{4^2+(-2)^2} =\sqrt{16+4} = \sqrt{20}

|\vv{b}|= \sqrt{3^2+1^2} =\sqrt{9+1} = \sqrt{10}

 \begin{vmatrix}\vv{c}\end{vmatrix}= \sqrt{5^2+12^2} =\sqrt{25+144} = \sqrt{169} = 13

|\vv{d}| = \sqrt{(-6)^2+(-3)^2} =\sqrt{36+9} = \sqrt{45}

De modo que los vectores ordenados de menor a mayor longitud (o módulo) son:

|\vv{b}|< \begin{vmatrix}\vv{a}\end{vmatrix} < |\vv{d}| < \begin{vmatrix}\vv{c}\end{vmatrix}

 

Ejercicio 3

Determina el módulo del vector que tiene como origen el punto A(-3,2) y como extremo el punto B(7,-4).

Para calcular su módulo, primer debemos hallar el vector. Para ello, restamos el extremo menos el origen:

\vv{AB}=B-A=(7,-4)-(-3,2)=(10,-6)

Una vez sabemos el vector, se calcula su módulo mediante la fórmula del módulo:

\begin{vmatrix} \vv{AB} \end{vmatrix} =\sqrt{10^2+(-6)^2} = \sqrt{100+36}=\bm{\sqrt{136}}

 

Ejercicio 4

Descompone el siguiente vector y halla sus componentes:

 \lvert \vv{a} \rvert =8 \qquad \alpha = 45º

La componente horizontal del vector es igual al módulo multiplicado por el coseno del ángulo:

 a_x= \lvert \vv{a}\rvert \cdot \text{cos}(45º)= 8 \cdot 0,71 = 5,66

Y la componente vertical del vector es igual a la multiplicación del módulo por el seno del ángulo:

 a_y= \lvert \vv{a}\rvert \cdot \text{sen}(45º)= 8 \cdot 0,71 = 5,66

De forma que el vector es el siguiente:

 \vv{\mathbf{u}}\bm{ = (5,66 \ ,\ 5,66)}

En este caso las dos componentes son idénticas, eso es debido a que el ángulo de inclinación del vector es 45º.

 

Ejercicio 5

Calcula el vector de misma dirección y mismo sentido que el siguiente vector pero de módulo 1.

 \vv{a} = (-4,3)

El vector de misma dirección y mismo sentido pero de módulo 1 es el vector unitario. Para calcularlo primero hallamos el módulo del vector:

 \lvert \vv{a} \rvert=\sqrt{(-4)^2+3^2} = \sqrt{16+9} = \sqrt{25} = 5

Y ahora calculamos el vector unitario dividiendo el vector original entre su módulo:

\displaystyle \vv{a}_u = \cfrac{\vv{a}}{\lvert \vv{a} \rvert} = \frac{(-4,3)}{5}= \bm{\left(-\frac{4}{5},\frac{3}{5} \right)}

 

Ejercicio 6

Descompone vectorialmente el siguiente vector y calcula su vector unitario:

 \lvert \vv{a} \rvert =6 \qquad \alpha = 20º

En primer lugar, descomponemos el vector y hallamos sus coordenadas:

 a_x= \lvert \vv{a}\rvert \cdot \text{cos}(20º)= 6 \cdot 0,94 = 5,64

 a_y= \lvert \vv{a}\rvert \cdot \text{sen}(20º)= 6 \cdot 0,34 = 2,05

Así que el vector es el siguiente:

\vv{a}= (5,64 \ ,\ 2,05)}

Y ahora calculamos el vector unitario dividiendo el vector conseguido entre su módulo:

\displaystyle \vv{a}_u = \cfrac{\vv{a}}{\lvert \vv{a} \rvert} = \frac{(5,64 \ ,\ 2,05)}{6}= \bm{(0,94 \ , \ 0,34) }

Fíjate que las componentes de un vector unitario son iguales al coseno y al seno del ángulo que forma con el eje X.

 

24 comentarios en “Cómo calcular el módulo de un vector”

    1. Geometría Analítica

      Para calcular el módulo de un vector tridimensional se tiene que aplicar el mismo procedimiento que con los vectores bidimensionales. Es decir, el módulo de un vector con 3 coordenadas es igual a la raíz cuadrada (positiva) de la suma de los cuadrados de sus 3 componentes.

      Por tanto, el módulo del vector 3D que propones es:
      \sqrt{(-3)^2+4^2+1^2}=\sqrt{9+16+1}=\sqrt{26}

    1. Geometría Analítica

      El módulo de un vector 3D se calcula igual que un vector 2D, por lo que debemos elevar cada una de sus coordenadas al cuadrado, sumar los resultados, y luego hacer la raíz cuadrada:
      \sqrt{2^2+3^2+6^2}=\sqrt{49}=7

    2. Determina el modulo de los siguiente vectores
      1) V=(-4,6)
      2) T=(7,5)
      3) A=(2,3)
      4) G=(7,7)

    3. Geometría Analítica

      Buenas Kloe,

      Te dejo el cálculo de los módulos de los vectores a continuación:

      1) \ |\vv{V}|=\sqrt{(-4)^2+6^2}=\sqrt{16+36}=\sqrt{52}

      2) \ |\vv{T}|=\sqrt{7^2+5^2}=\sqrt{49+25}=\sqrt{74}

      3) \ |\vv{A}|=\sqrt{2^2+3^2}=\sqrt{4+9}=\sqrt{13}

      4) \ |\vv{G}|=\sqrt{7^2+7^2}=\sqrt{49+49}=\sqrt{98}

    1. Geometría Analítica

      Hola Mervin,

      Aunque el vector tenga una componente negativa, el módulo del vector se calcula utilizando la misma fórmula:
      |\vv{A}|=\sqrt{(-8)^2+6^2}=\sqrt{64+36}=\sqrt{100}=10

  1. VICTOR MENDOZA

    Dados los vectores A =(3,1), B =(5,-3), C =(1,2) . Calcula el módulo del vector resultante a través de la siguiente operación: 2A +B -3C

    1. Geometría Analítica

      Hola Victor,

      Para resolver este problema del módulo de un vector, primero debes hacer las operaciones con los vectores:
      2\vv{A}+\vv{B}-3\vv{C}=2(3,1)+(5,-3)-3(1,2)=(6,2)+(5,-3)-(3,6)=(8,-7)

      Y una vez has calculado las coordenadas del vector, ya puedes determinar el módulo aplicando la fórmula:
      \sqrt{8^2+(-7)^2}=\sqrt{64+49}=\sqrt{113}

    1. Geometría Analítica

      Hola Yadhira,

      Para resolver este ejercicio lo primero que debemos hacer es encontrar el vector que cumple con la ecuación.
      \begin{array}{l}-3(1,3) + 2x = 5(0,-2) + 4x \\[2ex] (-3,-9)+2x=(0,-10)+4x\\[2ex] (-3,-9)-(0,-10)=4x-2x\\[2ex] (-3,1)=2x\\[2ex] \displaystyle x=\left(\frac{-3}{2},\frac{1}{2}\right)\end{array}

      Y una vez hemos calculado el vector que cumple con la ecuación, hallamos su norma utilizando la fórmula:
      \displaystyle \sqrt{\left(\frac{-3}{2}\right)^2+\left(\frac{1}{2}\right)^2}=\sqrt{\frac{9}{4}+\frac{1}{4}}=\sqrt{\frac{10}{4}}=\sqrt{\frac{5}{2}}

    1. Geometría Analítica

      Hola Mariapaz,

      Para resolver este problema, primero debemos aplicar la condición de perpendicularidad la cual dice que el producto escalar de dos vectores perpendiculares es igual a cero. De este modo podremos hallar el valor del parámetro k:
       X \perp Y \ \longrightarrow \ X\cdot Y=0

      (k+5)\cdot 1 +(-4)\cdot (k+1)=0

      k+5-4k-4=0

      k=\cfrac{1}{3}

      Ahora calculamos el vector sustituyendo el valor de la incógnita:
      \displaystyle Z=\left(\frac{1}{3}+1,\frac{1}{3}-1\right)=\left(\frac{4}{3},-\frac{2}{3}\right)

      Y, finalmente, calculamos el módulo del vector con fracciones:
      \displaystyle  |Z|=\sqrt{\left(\frac{4}{3}\right)^2+\left(\frac{2}{3}\right)^2}=\sqrt{\frac{16}{9}+\frac{4}{9}}=\sqrt{\frac{20}{9}}

    1. Geometría Analítica

      Hola Cecilia, tienes resuelto el cálculo del módulo de los vectores a continuación:

      \sqrt{8^2+12^2}=\sqrt{64+144}=\sqrt{208}

      \sqrt{8^2+6^2}=\sqrt{64+36}=\sqrt{100}=10

      \sqrt{10^2+16^2}=\sqrt{100+256}=\sqrt{356}

      Para graficar los vectores puedes ver buscar cómo se hace en el buscador de esta página web.

  2. Dado el conjunto de vectores mostrados en la figura, determinar el módulo de su
    vector resultante, si A=10; B= 20; C = 6; D = 13.

    1. Geometría Analítica

      Hola Lenihan,

      Para poder resolver este ejercicio es necesario poder ver cómo es la figura, o al menos tener una descripción de ella.

    1. Geometría Analítica

      Hola Angelina, el cálculo del módulo del vector que propones se hace de la siguiente manera:

      \sqrt{4^2+6^2}=\sqrt{16+36}=\sqrt{52}

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