Puntos coplanarios (o coplanares)

En esta página encontrarás qué son los puntos coplanarios (o coplanares) y cómo saber si unos puntos son coplanarios o no. Además, podrás ver ejemplos y practicar con ejercicios resueltos de puntos coplanarios.

¿Qué son los puntos coplanarios?

En geometría analítica, el significado de puntos coplanarios (o coplanares) es el siguiente:

Los puntos coplanarios son aquellos puntos que pertenecen a un mismo plano.

Por lo tanto, 2 o 3 puntos cualesquiera siempre son coplanarios porque un plano se puede formar con tan solo 3 puntos. En cambio, cuando se tienen 4, 5 o más puntos puede ser que alguno de los puntos no esté contenido en el mismo plano y, en consecuencia, que no sean coplanarios.

puntos coplanarios

Por ejemplo, en la representación gráfica de arriba puedes ver que los puntos A, C, D y F son coplanarios entre sí, ya que está contenidos en el mismo plano. Por contra, estos 4 puntos no son coplanarios con los puntos B, E y G, porque no se puede formar ningún plano en el espacio que contenga todos los puntos.

De esta propiedad se puede deducir que los vectores que quedan definidos por puntos coplanarios también son vectores coplanarios, es decir, están contenidos en un mismo plano.

¿Cuándo los puntos son coplanarios?

Como hemos visto en la definición de puntos coplanarios (o coplanares), dos o tres puntos siempre son coplanarios, pero más de tres puntos no tienen porqué cumplir la relación de coplanaridad.

Así pues, existen principalmente 2 métodos para determinar si cuatro o más puntos son coplanarios:

  • Una manera de saber si los puntos son coplanarios es mediante los vectores que quedan determinados por los puntos: si dichos vectores son coplanarios, entonces los puntos también son coplanarios.

Obviamente, para poder aplicar este método debes saber cuándo los vectores son coplanarios. Pero como también existen varias formas de determinar si un conjunto de vectores son coplanarios, te recomendamos que consultes cómo saber si los vectores son coplanarios. Aquí encontrarás todas los procedimientos que existen para hallar cuándo 2, 3, 4, o más vectores son coplanarios, junto con ejemplos y ejercicios resueltos.

  • Otra forma de averiguar si un conjunto de puntos son coplanarios es hallar la ecuación del plano que forman 3 puntos del conjunto, y si los otros puntos cumplen con dicha ecuación, entonces significa que todos los puntos del conjunto son coplanarios.

Aunque esto depende del problema, nosotros te recomendamos que utilices el primero de los dos métodos, porque es mucho más fácil y rápido comprobar si los vectores son coplanarios que calcular la ecuación de un plano. Pero, evidentemente, usa el que tú prefieras.

Ejercicios resueltos de puntos coplanarios

Ejercicio 1

Determina si los siguientes tres puntos son coplanarios:

 A(3,5,1)

 B(0,-2,3)

 C(4,-1,2)

En este caso no es necesario hacer ningún cálculo debido a que 3 puntos siempre son coplanarios, sean los que sean.

 

Ejercicio 2

Halla si los siguientes cuatro puntos son coplanarios:

 A(1,2,0)

 B(-1,3,4)

 C(1,0,-1)

 D(2,5,-3)

Para que los cuatro puntos sean coplanarios, los vectores que quedan determinados por ellos deben ser coplanarios. De modo que calculamos dichos vectores:

 \vv{AB} = B- A = (-1,3,4)-(1,2,0) = (-2,1,4)

 \vv{AC} = C- A = (1,0,-1)-(1,2,0) = (0,-2,-1)

 \vv{AD} = D- A = (2,5,-3)-(1,2,0) = (1,3,-3)

Ahora construimos la matriz formada por los vectores:

 \displaystyle A= \begin{pmatrix} -2&1&4 \\[1.1ex]0&-2&-1 \\[1.1ex] 1&3&-3\end{pmatrix}

Para que los vectores resultantes sean coplanarios, el rango de la matriz anterior debe ser igual a 2. Y, para eso, el determinante de toda la matriz 3×3 tiene que ser igual a cero:

 rg(A)= \ ?

 \displaystyle \begin{vmatrix} -2&1&4 \\[1.1ex]0&-2&-1 \\[1.1ex] 1&3&-3\end{vmatrix} =-11\neq 0

 rg(A)=3

Sin embargo, el determinante de toda la matriz es diferente de cero, así que el rango de la matriz es 3 y, en consecuencia, los 4 puntos no son coplanarios.

 

Ejercicio 3

Averigua si los siguientes cinco puntos son coplanarios:

 A(3,1,1)

 B(0,0,2)

 C(4,-2,-1)

 D(-1,1,3)

 E(2,4,3)

Para que los cinco puntos sean coplanarios, los vectores que quedan definidos por ellos deben ser coplanarios. De manera que calculamos dichos vectores:

 \vv{AB} = B- A = (0,0,2)-(3,1,1) = (-3,-1,1)

 \vv{AC} = C- A = (4,-2,-1)-(3,1,1) = (1,-3,-2)

 \vv{AD} = D- A = (-1,1,3)-(3,1,1) = (-4,0,2)

 \vv{AE} = E- A = (2,4,3)-(3,1,1) = (-1,3,2)

Ahora construimos la matriz compuesta por los vectores:

 \displaystyle A= \begin{pmatrix} -3&-1&1 \\[1.1ex]1&-3&-2 \\[1.1ex] -4&0&2\\[1.1ex] -1&3&2\end{pmatrix}

Para que los vectores resultantes sean coplanarios, el rango de la matriz anterior debe ser igual a 2. Por lo que calculamos el rango de la matriz de los vectores por determinantes para verificar si son coplanarios:

 rg(A)= \ ?

 \displaystyle \begin{vmatrix} -3&-1&1 \\[1.1ex]1&-3&-2 \\[1.1ex] -4&0&2\end{vmatrix} = 0 \qquad \begin{vmatrix} -3&-1&1 \\[1.1ex]1&-3&-2 \\[1.1ex] -1&3&2\end{vmatrix} = 0

 \displaystyle \begin{vmatrix} -3&-1&1 \\[1.1ex] -4&0&2\\[1.1ex] -1&3&2\end{vmatrix} = 0 \qquad \begin{vmatrix} 1&-3&-2 \\[1.1ex] -4&0&2\\[1.1ex] -1&3&2\end{vmatrix} = 0

 \displaystyle \begin{vmatrix} -3&-1 \\[1.1ex] 1&-3\end{vmatrix} =10\neq  0

 rg(A)=2

El rango de la matriz es equivalente a 2, por tanto, los vectores son coplanarios y, en consecuencia, los 5 puntos también son coplanarios.

 

Ejercicio 4

Calcula el valor del parámetro k para que los siguientes 4 puntos sean coplanarios:

 A(3,1,4)

 B(2,1,2)

 C(0,-1,3)

 D(3,2,k)

Para que los cuatro puntos sean coplanarios, los vectores que quedan determinados por ellos deben ser coplanarios. De modo que calculamos dichos vectores:

 \vv{AB} = B- A = (2,1,2)-(3,1,4) = (-1,0,-2)

 \vv{AC} = C- A = (0,-1,3)-(3,1,4) = (-3,-2,-1)

 \vv{AD} = D- A = (3,2,k)-(3,1,4) = (0,1,k-4)

Cuya matriz de vectores es:

 \displaystyle A= \begin{pmatrix} -1&0&-2 \\[1.1ex] -3&-2&-1 \\[1.1ex] 0&1&k-4\end{pmatrix}

Para que los vectores resultantes sean coplanarios, el rango de la matriz debe ser 2. Y, por tanto, el determinante de toda la matriz 3×3 tiene que ser igual a 0:

 \displaystyle \begin{vmatrix} -1&0&-2 \\[1.1ex] -3&-2&-1 \\[1.1ex] 0&1&k-4\end{vmatrix} =0

 \displaystyle 2k-3 =0

Finalmente, despejamos la incógnita k:

 2k =3

 \bm{k =}\mathbf{\cfrac{3}{2}}

 

Para terminar, si te ha resultado útil este artículo seguramente también estés [email protected] en cómo se calcula la distancia entre dos puntos (fórmula), ya que a veces en los problemas de geometría analítica nos preguntan cuál es la distancia entre dos puntos. En la página enlazada encontrarás una explicación bien detallada, junto con ejemplos y ejercicios resueltos paso a paso.

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