Ecuación vectorial del plano

En esta página encontrarás cuál es la ecuación vectorial del plano (fórmula) y ejemplos de cómo se calcula. Además, podrás practicar con ejercicios y problemas resueltos de la ecuación vectorial del plano.

¿Qué es la ecuación vectorial de un plano?

En geometría analítica, la ecuación vectorial de un plano es una ecuación que permite expresar matemáticamente cualquier plano. Para hallar la ecuación vectorial de un plano solo se necesita un punto y dos vectores linealmente independientes que pertenezcan a dicho plano.

Fórmula de la ecuación vectorial del plano

Dados un punto y dos vectores directores de un plano:

 \begin{array}{c} P(P_x,P_y,P_z) \\[2ex] \vv{\text{u}}=(\text{u}_x,\text{u}_y,\text{u}_z)\\[2ex] \vv{\text{v}}=(\text{v}_x,\text{v}_y,\text{v}_z)\end{array}

La fórmula de la ecuación vectorial de un plano es:

 (x,y,z)=P+\lambda \vv{\text{u}} + \mu \vv{\text{v}}

 (x,y,z)=(P_x,P_y,P_z)+\lambda (\text{u}_x,\text{u}_y,\text{u}_z) + \mu (\text{v}_x,\text{v}_y,\text{v}_z)

Donde \lambda y \mu son dos escalares, es decir, dos números reales.

Por lo tanto, esto significa que se puede expresar cualquier punto de un plano como combinación lineal de 1 punto y 2 vectores.

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Además, una condición necesaria para que la ecuación anterior corresponda a un plano es que los dos vectores del plano posean independencia lineal, es decir, los dos vectores no pueden ser paralelos entre sí.

Por otro lado, ten en cuenta que a parte de la ecuación vectorial existen más formas de expresar analíticamente un plano, como la ecuación paramétrica del plano y la ecuación implícita del plano. Puedes consultar en qué consiste cada tipo de ecuación en los enlaces.

Ejemplo de cómo hallar la ecuación vectorial de un plano

Una vez vista la explicación del concepto de la ecuación vectorial del plano, veamos cómo se calcula mediante un ejemplo:

  • Halla la ecuación vectorial del plano que pasa por el punto P(2,0,4) y contiene los vectores \vv{\text{u}}=(1,3,-2) y \vv{\text{v}}=(5,0,1).

Para determinar la ecuación vectorial del plano, simplemente debemos aplicar su fórmula:

 (x,y,z)=P+\lambda \vv{\text{u}} + \mu \vv{\text{v}}

Y ahora sustituimos el punto y cada vector en la ecuación:

 \bm{(x,y,z)=(2,0,4)+\lambda (1,3,-2) + \mu (5,0,1)}

Como puedes ver en el ejemplo, encontrar la ecuación vectorial de un plano es relativamente fácil. Sin embargo, se puede complicar un poco en los problemas, así que a continuación dispones de varios ejercicios resueltos de diferente dificultad para que puedas practicar.

Ejercicios resueltos de la ecuación vectorial del plano

Ejercicio 1

Determina la ecuación vectorial del plano que contiene el vector \vv{\text{u}}=(0,-2,3) y pasa por los siguientes dos puntos: A(1,3,-1) y B(2,-1,5).

Para averiguar la ecuación de un plano se necesita un punto y dos vectores y en este caso solo tenemos un único vector, por lo que debemos hallar otro vector director del plano. Para ello, podemos calcular el vector que definen los dos puntos del plano:

 \vv{AB} = B - A = (2,-1,5) - (1,3,-1) = (1,-4,6)

Ahora ya sabemos dos vectores directores del plano y un punto, de modo que utilizamos la fórmula de la ecuación vectorial del plano:

 (x,y,z)=P+\lambda \vv{\text{u}} + \mu \vv{\text{v}}

Y sustituimos los dos vectores y cualquiera de los dos puntos del plano en la ecuación:

 \bm{(x,y,z)=(1,3,-1)+\lambda (0,-2,3) + \mu (1,-4,6)}

 

Ejercicio 2

Encuentra la ecuación vectorial del plano que contiene los siguientes tres puntos:

A(2,-2,1) \qquad B(1,0,4) \qquad C(-1,3,-2)

Para encontrar la ecuación vectorial del plano, necesitamos hallar dos vectores linealmente independientes que pertenezcan al plano. Y, para ello, podemos calcular dos vectores que quedan definidos por los 3 puntos:

 \vv{AB} = B - A = (1,0,4) - (2,-2,1) = (-1,2,3)

 \vv{AC} = C - A = (-1,3,-2) - (2,-2,1) = (-3,5,-3)

Las coordenadas de los dos vectores hallados no son proporcionales, con lo que son linealmente independientes entre sí.

Ahora ya conocemos dos vectores directores y un punto del plano, de manera que aplicamos la fórmula de la ecuación vectorial del plano:

 (x,y,z)=P+\lambda \vv{\text{u}} + \mu \vv{\text{v}}

Y sustituimos los dos vectores y cualquiera de los tres puntos del plano en la ecuación:

 \bm{(x,y,z)=(2,-2,1)+\lambda (-1,2,3) + \mu (-3,5,-3)}

 

Ejercicio 3

Calcula 4 puntos del espacio que pertenezcan al plano definido por la siguiente ecuación vectorial:

 (x,y,z)=(0,2,1)+\lambda (2,-1,4) + \mu (-1,3,0)

Para calcular un punto de un plano, tan solo debemos otorgar un valor cualquiera a los parámetros \lambda y \mu . Por tanto:

 \left. \begin{array}{c} \lambda =0 \\[2ex] \mu =0 \end{array} \right\} \longrightarrow \ (0,2,1)+0\cdot (2,-1,4) + 0\cdot  (-1,3,0)= \bm{(0,2,1)}

 \left. \begin{array}{c} \lambda =1 \\[2ex] \mu =0 \end{array} \right\} \longrightarrow \ (0,2,1)+1\cdot (2,-1,4) + 0\cdot (-1,3,0)= \bm{(2,1,5)}

 \left. \begin{array}{c} \lambda =0 \\[2ex] \mu =1 \end{array} \right\} \longrightarrow \ (0,2,1)+0\cdot (2,-1,4) + 1\cdot (-1,3,0)= \bm{(-1,5,1)}

 \left. \begin{array}{c} \lambda =1 \\[2ex] \mu =1 \end{array} \right\} \longrightarrow \ (0,2,1)+1\cdot (2,-1,4) + 1\cdot (-1,3,0)= \bm{(1,4,5)}

 

Ejercicio 4

Halla la ecuación vectorial del plano que contiene la recta r y es paralelo a la recta s. Siendo las rectas:

 \displaystyle r: \ \begin{cases} x=4+2t \\[1.7ex] y=-1+t\\[1.7ex] z=5-4t \end{cases} \qquad \qquad s: \ \frac{x-1}{2} = \frac{y+2}{4}= \frac{z+1}{-3}

Para hallar la ecuación vectorial del plano necesitamos conocer dos vectores directores y un punto de dicho plano. El enunciado nos dice que contiene la recta r, por tanto, podemos coger el vector director y un punto de esa recta para definir el plano. Además, el enunciado nos dice que el plano es paralelo a la recta s, por lo que también podemos utilizar el vector director de esa recta para la ecuación del plano.

La recta r está expresada en forma de ecuaciones paramétricas, así que las componentes de su vector director son los coeficientes de los términos con el parámetro t:

 \vv{r} =(2,1,-4)

Y las coordenadas cartesianas de un punto de esa misma recta son los términos independientes de las ecuaciones:

 P(4,-1,5)

Por otra parte, la recta s está en forma de ecuación continua, de manera que las componentes de su vector director son los denominadores de las fracciones:

 \vv{s} =(2,4,-3)

Por tanto, la ecuación vectorial del plano es:

 (x,y,z)=P+\lambda \vv{r} + \mu \vv{s}

 \bm{(x,y,z)=(4,-1,5)+\lambda (2,1,-4) + \mu (2,4,-3)}

 

2 comentarios en “Ecuación vectorial del plano”

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