Ecuación implícita, general o cartesiana del plano

Explicación de cómo se calcula la ecuación implícita del plano (fórmula), también conocida como ecuación general o cartesiana. A parte, encontrarás cómo hallar la ecuación del plano a partir de su vector normal. Y, además, podrás ver ejemplos y ejercicios resueltos paso a paso.

¿Qué es la ecuación implícita o general del plano?

En geometría analítica, la ecuación implícita de un plano, también llamada ecuación general o cartesiana del plano, es una ecuación que permite expresar matemáticamente cualquier plano. Para hallar la ecuación implícita o general de un plano se necesita un punto y dos vectores linealmente independientes que pertenezcan a dicho plano.

Fórmula de la ecuación implícita o general del plano

Dados un punto y dos vectores directores de un plano:

 \begin{array}{c} P(P_x,P_y,P_z) \\[2ex] \vv{\text{u}}=(\text{u}_x,\text{u}_y,\text{u}_z)\\[2ex] \vv{\text{v}}=(\text{v}_x,\text{v}_y,\text{v}_z)\end{array}

La ecuación implícita, general o cartesiana de un plano se obtiene resolviendo el siguiente determinante e igualando el resultado a 0:

 \displaystyle \begin{vmatrix}\text{u}_x & \text{v}_x & x-P_x \\[1.1ex]\text{u}_y & \text{v}_y & y-P_y \\[1.1ex]\text{u}_z & \text{v}_z & z-P_z \end{vmatrix} = 0

De modo que la ecuación implícita o general del plano resultante será de la siguiente forma:

 Ax+By+Cz+D=0

Es importante que los dos vectores de la fórmula sean linealmente independientes entre sí, es decir, deben tener una dirección diferente. Y para que se cumpla esta condición es suficiente que los dos vectores no sean paralelos.

ecuacion implicita o general o cartesiana del pano xy en r3

Aunque no es necesario saber el porqué de esta fórmula, a continuación puedes ver su demostración.

Partiendo de las ecuaciones paramétricas de un plano, vamos a pasar a la ecuación implícita (o general) del plano:

\displaystyle \begin{cases}x=P_x + \lambda \text{u}_x + \mu \text{v}_x \\[1.7ex] y=P_y + \lambda \text{u}_y + \mu \text{v}_y\\[1.7ex] z=P_z + \lambda\text{u}_z + \mu \text{v}_z \end{cases}

En primer lugar, pasamos el término independiente de cada ecuación paramétrica al otro lado de la ecuación:

\displaystyle \begin{cases}x-P_x= \lambda \text{u}_x + \mu \text{v}_x \\[1.7ex] y-P_y = \lambda \text{u}_y + \mu \text{v}_y\\[1.7ex] z-P_z = \lambda\text{u}_z + \mu \text{v}_z \end{cases}

O equivalentemente:

\displaystyle \begin{cases} \lambda \text{u}_x + \mu \text{v}_x =x-P_x\\[1.7ex]  \lambda \text{u}_y + \mu \text{v}_y=y-P_y \\[1.7ex]  \lambda\text{u}_z + \mu \text{v}_z =z-P_z\end{cases}

Para que el sistema de ecuaciones anterior tenga una solución factible, el rango de la siguiente matriz debe ser igual a 2 (teorema de Rouché-Frobenius):

\displaystyle\begin{pmatrix}\text{u}_x & \text{v}_x & x-P_x \\[1.1ex]\text{u}_y & \text{v}_y & y-P_y \\[1.1ex]\text{u}_z & \text{v}_z & z-P_z\end{pmatrix}

De manera que si el rango de la matriz anterior tiene que ser dos, necesariamente el determinante 3×3 debe de ser igual a cero:

\displaystyle\begin{vmatrix}\text{u}_x & \text{v}_x & x-P_x \\[1.1ex]\text{u}_y & \text{v}_y & y-P_y \\[1.1ex]\text{u}_z & \text{v}_z & z-P_z \end{vmatrix} =0

Y resolviendo este determinante se obtiene la ecuación general, implícita o cartesiana de un plano:

 Ax+By+Cz+D=0

Así pues, acabamos de ver la ecuación implícita (o general) y las ecuaciones paramétricas del plano, sin embargo, existen aún más formas de expresar analíticamente un plano, como por ejemplo la ecuación vectorial y la ecuación canónica. Puedes ver la fórmula y la explicación de todas las ecuaciones del plano en este enlace.

Ejemplo de cómo hallar la ecuación implícita o general del plano

Vamos a ver cómo determinar la ecuación implícita (o general o cartesiana) de un plano a través de un ejemplo:

  • Halla la ecuación implícita o general del plano que pasa por el punto P(3,1,-1) y contiene los vectores \vv{\text{u}}=(2,0,3) y \vv{\text{v}}=(4,-1,2).

Para calcular la ecuación general o implícita del plano, debemos resolver el siguiente determinante formado por los dos vectores, las variables y las coordenadas del punto:

\displaystyle\begin{vmatrix}\text{u}_x & \text{v}_x & x-P_x \\[1.1ex]\text{u}_y & \text{v}_y & y-P_y \\[1.1ex]\text{u}_z & \text{v}_z & z-P_z \end{vmatrix} =0

Así pues, sustituimos los vectores y el punto en la fórmula:

\displaystyle\begin{vmatrix}2 & 4 & x-3 \\[1.1ex]0 & -1 & y-1 \\[1.1ex]3& 2 & z-(-1) \end{vmatrix} =0

\displaystyle\begin{vmatrix}2 & 4 & x-3 \\[1.1ex]0 & -1 & y-1 \\[1.1ex]3& 2 & z+1 \end{vmatrix} =0

Y ahora resolvemos el determinante de orden 3, por ejemplo con la regla de Sarrus o por cofactores (o adjuntos):

 -2(z+1)+12(y-1)+3(x-3)-4(y-1) = 0

Ahora operamos y agrupamos términos:

3(x-3)+8(y-1) -2(z+1) = 0

3x-9+8y-8 -2z-2 = 0

3x+8y-2z-19 = 0

Por lo tanto, la ecuación implícita o general del plano es:

\bm{3x+8y-2z-19 = 0}

Calcular la ecuación implícita o general de un plano a partir de su vector normal

Un problema muy típico de las ecuaciones de un plano es encontrar cómo es la ecuación de un determinado plano a partir de un punto y de su vector normal (o perpendicular). Así pues, veamos cómo se resuelve.

Pero primero debemos saber que las componentes X, Y, Z del vector normal a un plano coinciden respectivamente con los coeficientes A, B, C de la ecuación implícita (o general) de dicho plano.

 \displaystyle \color{orange} \boxed{ \color{black} \quad \pi : \ Ax+By+C+D = 0 \quad \iff \quad \vv{n} = (A,B,C) \quad \vphantom{\Bigl(}}

Donde \vv{n} es el vector ortogonal al plano \pi.

Una vez conocemos la relación anterior, veamos un ejemplo de cómo solucionar este tipo de problemas de ecuaciones del plano:

  • Determina la ecuación implícita o general del plano que pasa por el punto P(1,0,-2) y uno de sus vectores normales es \vv{n}=(3,-1,2) .

La fórmula de la ecuación implícita, general o cartesiana de un plano es:

 Ax+By+Cz+D=0

Entonces, a partir del vector normal, podemos averiguar los coeficientes A, B y C porque son equivalentes a las componentes de su vector normal:

 \vv{n}=(3,-1,2) \ \longrightarrow \ 3x-1y+2z+D=0

De forma que solo nos queda hallar el parámetro D. Para ello, sustituimos las coordenadas del punto que pertenece al plano en la ecuación:

P(1,0,-2)

 3\cdot 1-0+2\cdot (-2)+D=0

 3-4+D=0

 -1+D=0

 D=1

De modo que la ecuación implícita o general del plano es:

\bm{3x-y+2z+1 = 0}

Ejercicios resueltos de la ecuación implícita o general del plano

Ejercicio 1

Halla la ecuación implícita o general del plano que pasa por el punto P(-2,1,3) y contiene los vectores \vv{\text{u}}=(4,1,3) y \vv{\text{v}}=(5,3,-1).

Para calcular la ecuación de general o implícita del plano, debemos resolver el siguiente determinante formado por los dos vectores, las tres variables y las coordenadas del punto:

\displaystyle\begin{vmatrix}\text{u}_x & \text{v}_x & x-P_x \\[1.1ex]\text{u}_y & \text{v}_y & y-P_y \\[1.1ex]\text{u}_z & \text{v}_z & z-P_z \end{vmatrix} =0

Entonces, sustituimos los vectores y el punto en la fórmula:

\displaystyle\begin{vmatrix}4 & 5 & x+2 \\[1.1ex]1 & 3 & y-1 \\[1.1ex]3& 1 & z+1 \end{vmatrix} =0

Y ahora resolvemos el determinante de la matriz 3×3 con el método que prefieras:

 12(z+1)+15(y-1)+1(x+2)-9(x+2)-4(y-1)-5(z+1) = 0

Por último, hacemos las operaciones y agrupamos los términos similares:

 -8(x+2)+11(y-1)+7(z+1) = 0

-8x-16+11y-11+7z+7=0

-8x+11y+7z-20= 0

Por lo que la ecuación implícita o general del plano es:

\bm{-8x+11y+7z-20 = 0}

 

Ejercicio 2

Determina si el punto P(-1,5,-3) pertenece al siguiente plano:

 \pi : \ 2x+y+6z-5=0

Para que el punto sea del plano, debe verificar su ecuación. Por tanto, tenemos que sustituir las coordenadas cartesianas del punto en la ecuación del plano y comprobar si se cumple la ecuación:

 2x+y+6z-5=0

P(-1,5,-3)

  2\cdot (-1)+5+6\cdot (-3)-5=0

 -2+5-18-5=0

 -20\neq 0

El punto no cumple con la ecuación del plano, por tanto, no forma parte de este plano.

 

Ejercicio 3

Encuentra la ecuación implícita (o general) del plano que contiene los siguientes tres puntos:

A(5,-1,-2) \qquad B(2,1,3) \qquad C(4,1,-2)

Para encontrar la ecuación implícita del plano, necesitamos hallar dos vectores linealmente independientes que pertenezcan al plano. Y, para ello, podemos calcular dos vectores que quedan definidos por los 3 puntos:

 \vv{AB} = B - A = (2,1,3) - (5,-1,-2) = (-3,2,5)

 \vv{AC} = C - A = (4,1,-2) - (5,-1,-2) = (-1,2,0)

Las coordenadas de los dos vectores hallados no son proporcionales, con lo que efectivamente son linealmente independientes entre sí.

Ahora ya conocemos dos vectores directores y un punto del plano, de manera que ya podemos aplicar la fórmula de la ecuación general del plano:

\displaystyle\begin{vmatrix}\text{u}_x & \text{v}_x & x-P_x \\[1.1ex]\text{u}_y & \text{v}_y & y-P_y \\[1.1ex]\text{u}_z & \text{v}_z & z-P_z \end{vmatrix} =0

Sustituimos los vectores y cualquiera de los tres puntos en la fórmula:

\displaystyle\begin{vmatrix}-3 & -1 & x-5 \\[1.1ex]2 & 2 & y+1 \\[1.1ex]5& 0 & z+2 \end{vmatrix} =0

Y, finalmente, resolvemos el determinante:

-6(z+2)-5(y+1)-10(x-5)+2(z+2)=0

-10(x-5)-5(y+1)-4(z+2)=0

-10x+50-5y-5-4z-8=0

-10x-5y-4z+37=0

En definitiva, la ecuación implícita, general o cartesiana del plano en cuestión es:

\bm{-10x-5y-4z+37=0}

 

Ejercicio 4

Calcula la ecuación implícita o general del plano en el espacio que pasa por el punto P(3,4,-3) y uno de sus vectores normales es \vv{n}=(5,-2,-3) .

La fórmula de la ecuación implícita, general o cartesiana de un plano es:

 Ax+By+Cz+D=0

Pues a partir del vector normal podemos averiguar los coeficientes A, B y C, ya que son iguales respectivamente a las componentes del vector normal:

 \vv{n}=(5,-2,-3) \ \longrightarrow \ 5x-2y-3z+D=0

De forma que solamente nos falta averiguar el parámetro D. Para ello, sustituimos las coordenadas del punto que pertenece al plano en la ecuación:

P(3,4,-3)

 5\cdot 3-2\cdot 4-3\cdot (-3)+D=0

 15-8+9+D=0

 16+D=0

 D=-16

En conclusión, la ecuación implícita o general del plano es:

\bm{5x-2y-3z-16 = 0}

 

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