▷ Hallar la ecuación implícita o general (o cartesiana) del plano

Explicación de cómo se calcula la ecuación implícita del plano (fórmula), también conocida como ecuación general o cartesiana. A parte, encontrarás cómo hallar la ecuación del plano a partir de su vector normal. Y, además, podrás ver ejemplos y ejercicios resueltos paso a paso.

Índice

¿Qué es la ecuación implícita o general del plano?

En geometría analítica, la ecuación implícita de un plano, también llamada ecuación general o cartesiana del plano, es una ecuación que permite expresar matemáticamente cualquier plano. Para hallar la ecuación implícita o general de un plano se necesita un punto y dos vectores linealmente independientes que pertenezcan a dicho plano.

Fórmula de la ecuación implícita o general del plano

Dados un punto y dos vectores directores de un plano:

$\begin{array}{c} P(P_x,P_y,P_z) \\[2ex] \vv{\text{u}}=(\text{u}_x,\text{u}_y,\text{u}_z)\\[2ex] \vv{\text{v}}=(\text{v}_x,\text{v}_y,\text{v}_z)\end{array}$

La ecuación implícita, general o cartesiana de un plano se obtiene resolviendo el siguiente determinante e igualando el resultado a 0:

$\displaystyle \begin{vmatrix}\text{u}_x & \text{v}_x & x-P_x \\[1.1ex]\text{u}_y & \text{v}_y & y-P_y \\[1.1ex]\text{u}_z & \text{v}_z & z-P_z \end{vmatrix} = 0$

De modo que la ecuación implícita o general del plano resultante será de la siguiente forma:

$Ax+By+Cz+D=0$

Es importante que los dos vectores de la fórmula sean linealmente independientes entre sí, es decir, deben tener una dirección diferente. Y para que se cumpla esta condición es suficiente que los dos vectores no sean paralelos.

ecuacion implicita o general o cartesiana del pano xy en r3

Aunque no es necesario saber el porqué de esta fórmula, a continuación puedes ver su demostración.

Partiendo de las ecuaciones paramétricas de un plano, vamos a pasar a la ecuación implícita (o general) del plano:

$\displaystyle \begin{cases}x=P_x + \lambda \text{u}_x + \mu \text{v}_x \\[1.7ex] y=P_y + \lambda \text{u}_y + \mu \text{v}_y\\[1.7ex] z=P_z + \lambda\text{u}_z + \mu \text{v}_z \end{cases}$

En primer lugar, pasamos el término independiente de cada ecuación paramétrica al otro lado de la ecuación:

$\displaystyle \begin{cases}x-P_x= \lambda \text{u}_x + \mu \text{v}_x \\[1.7ex] y-P_y = \lambda \text{u}_y + \mu \text{v}_y\\[1.7ex] z-P_z = \lambda\text{u}_z + \mu \text{v}_z \end{cases}$

O equivalentemente:

$\displaystyle \begin{cases} \lambda \text{u}_x + \mu \text{v}_x =x-P_x\\[1.7ex] \lambda \text{u}_y + \mu \text{v}_y=y-P_y \\[1.7ex] \lambda\text{u}_z + \mu \text{v}_z =z-P_z\end{cases}$

Para que el sistema de ecuaciones anterior tenga una solución factible, el rango de la siguiente matriz debe ser igual a 2 (teorema de Rouché-Frobenius):

$\displaystyle\begin{pmatrix}\text{u}_x & \text{v}_x & x-P_x \\[1.1ex]\text{u}_y & \text{v}_y & y-P_y \\[1.1ex]\text{u}_z & \text{v}_z & z-P_z\end{pmatrix}$

De manera que si el rango de la matriz anterior tiene que ser dos, necesariamente el determinante 3×3 debe de ser igual a cero:

$\displaystyle\begin{vmatrix}\text{u}_x & \text{v}_x & x-P_x \\[1.1ex]\text{u}_y & \text{v}_y & y-P_y \\[1.1ex]\text{u}_z & \text{v}_z & z-P_z \end{vmatrix} =0$

Y resolviendo este determinante se obtiene la ecuación general, implícita o cartesiana de un plano:

$Ax+By+Cz+D=0$

Así pues, acabamos de ver la ecuación implícita (o general) y las ecuaciones paramétricas del plano, sin embargo, existen aún más formas de expresar analíticamente un plano, como por ejemplo la ecuación vectorial y la ecuación canónica. Puedes ver la fórmula y la explicación de todas las ecuaciones del plano en este enlace.

Ejemplo de cómo hallar la ecuación implícita o general del plano

Vamos a ver cómo determinar la ecuación implícita (o general o cartesiana) de un plano a través de un ejemplo:

Halla la ecuación implícita o general del plano que pasa por el punto $P(3,1,-1)$ y contiene los vectores $\vv{\text{u}}=(2,0,3)$ y $\vv{\text{v}}=(4,-1,2).$

Para calcular la ecuación general o implícita del plano, debemos resolver el siguiente determinante formado por los dos vectores, las variables y las coordenadas del punto:

$\displaystyle\begin{vmatrix}\text{u}_x & \text{v}_x & x-P_x \\[1.1ex]\text{u}_y & \text{v}_y & y-P_y \\[1.1ex]\text{u}_z & \text{v}_z & z-P_z \end{vmatrix} =0$

Así pues, sustituimos los vectores y el punto en la fórmula:

$\displaystyle\begin{vmatrix}2 & 4 & x-3 \\[1.1ex]0 & -1 & y-1 \\[1.1ex]3& 2 & z-(-1) \end{vmatrix} =0$

$\displaystyle\begin{vmatrix}2 & 4 & x-3 \\[1.1ex]0 & -1 & y-1 \\[1.1ex]3& 2 & z+1 \end{vmatrix} =0$

Y ahora resolvemos el determinante de orden 3, por ejemplo con la regla de Sarrus o por cofactores (o adjuntos):

$-2(z+1)+12(y-1)+3(x-3)-4(y-1) = 0$

Ahora operamos y agrupamos términos:

$3(x-3)+8(y-1) -2(z+1) = 0$

$3x-9+8y-8 -2z-2 = 0$

$3x+8y-2z-19 = 0$

Por lo tanto, la ecuación implícita o general del plano es:

$\bm{3x+8y-2z-19 = 0}$

Calcular la ecuación implícita o general de un plano a partir de su vector normal

Un problema muy típico de las ecuaciones de un plano es encontrar cómo es la ecuación de un determinado plano a partir de un punto y de su vector normal (o perpendicular). Así pues, veamos cómo se resuelve.

Pero primero debemos saber que las componentes X, Y, Z del vector normal a un plano coinciden respectivamente con los coeficientes A, B, C de la ecuación implícita (o general) de dicho plano.

$\displaystyle \color{orange} \boxed{ \color{black} \quad \pi : \ Ax+By+C+D = 0 \quad \iff \quad \vv{n} = (A,B,C) \quad \vphantom{\Bigl(}}$

Donde $\vv{n}$ es el vector ortogonal al plano $\pi.$

Una vez conocemos la relación anterior, veamos un ejemplo de cómo solucionar este tipo de problemas de ecuaciones del plano:

Determina la ecuación implícita o general del plano que pasa por el punto $P(1,0,-2)$ y uno de sus vectores normales es $\vv{n}=(3,-1,2) .$

La fórmula de la ecuación implícita, general o cartesiana de un plano es:

$Ax+By+Cz+D=0$

Entonces, a partir del vector normal, podemos averiguar los coeficientes A, B y C porque son equivalentes a las componentes de su vector normal:

$\vv{n}=(3,-1,2) \ \longrightarrow \ 3x-1y+2z+D=0$

De forma que solo nos queda hallar el parámetro D. Para ello, sustituimos las coordenadas del punto que pertenece al plano en la ecuación:

$P(1,0,-2)$

$3\cdot 1-0+2\cdot (-2)+D=0$

$3-4+D=0$

$-1+D=0$

$D=1$

De modo que la ecuación implícita o general del plano es:

$\bm{3x-y+2z+1 = 0}$

Ejercicios resueltos de la ecuación implícita o general del plano

Ejercicio 1

Halla la ecuación implícita o general del plano que pasa por el punto $P(-2,1,3)$ y contiene los vectores $\vv{\text{u}}=(4,1,3)$ y $\vv{\text{v}}=(5,3,-1).$

Ver solución

Para calcular la ecuación de general o implícita del plano, debemos resolver el siguiente determinante formado por los dos vectores, las tres variables y las coordenadas del punto:

$\displaystyle\begin{vmatrix}\text{u}_x & \text{v}_x & x-P_x \\[1.1ex]\text{u}_y & \text{v}_y & y-P_y \\[1.1ex]\text{u}_z & \text{v}_z & z-P_z \end{vmatrix} =0$

Entonces, sustituimos los vectores y el punto en la fórmula:

$\displaystyle\begin{vmatrix}4 & 5 & x+2 \\[1.1ex]1 & 3 & y-1 \\[1.1ex]3& 1 & z+1 \end{vmatrix} =0$

Y ahora resolvemos el determinante de la matriz 3×3 con el método que prefieras:

$12(z+1)+15(y-1)+1(x+2)-9(x+2)-4(y-1)-5(z+1) = 0$

Por último, hacemos las operaciones y agrupamos los términos similares:

$-8(x+2)+11(y-1)+7(z+1) = 0$

$-8x-16+11y-11+7z+7=0$

$-8x+11y+7z-20= 0$

Por lo que la ecuación implícita o general del plano es:

$\bm{-8x+11y+7z-20 = 0}$

Ejercicio 2

Determina si el punto $P(-1,5,-3)$ pertenece al siguiente plano:

$\pi : \ 2x+y+6z-5=0$

Ver solución

Para que el punto sea del plano, debe verificar su ecuación. Por tanto, tenemos que sustituir las coordenadas cartesianas del punto en la ecuación del plano y comprobar si se cumple la ecuación:

$2x+y+6z-5=0$

$P(-1,5,-3)$

$2\cdot (-1)+5+6\cdot (-3)-5=0$

$-2+5-18-5=0$

$-20\neq 0$

El punto no cumple con la ecuación del plano, por tanto, no forma parte de este plano.

Ejercicio 3

Encuentra la ecuación implícita (o general) del plano que contiene los siguientes tres puntos:

$A(5,-1,-2) \qquad B(2,1,3) \qquad C(4,1,-2)$

Ver solución

Para encontrar la ecuación implícita del plano, necesitamos hallar dos vectores linealmente independientes que pertenezcan al plano. Y, para ello, podemos calcular dos vectores que quedan definidos por los 3 puntos:

$\vv{AB} = B - A = (2,1,3) - (5,-1,-2) = (-3,2,5)$

$\vv{AC} = C - A = (4,1,-2) - (5,-1,-2) = (-1,2,0)$

Las coordenadas de los dos vectores hallados no son proporcionales, con lo que efectivamente son linealmente independientes entre sí.

Ahora ya conocemos dos vectores directores y un punto del plano, de manera que ya podemos aplicar la fórmula de la ecuación general del plano:

$\displaystyle\begin{vmatrix}\text{u}_x & \text{v}_x & x-P_x \\[1.1ex]\text{u}_y & \text{v}_y & y-P_y \\[1.1ex]\text{u}_z & \text{v}_z & z-P_z \end{vmatrix} =0$

Sustituimos los vectores y cualquiera de los tres puntos en la fórmula:

$\displaystyle\begin{vmatrix}-3 & -1 & x-5 \\[1.1ex]2 & 2 & y+1 \\[1.1ex]5& 0 & z+2 \end{vmatrix} =0$

Y, finalmente, resolvemos el determinante:

$-6(z+2)-5(y+1)-10(x-5)+2(z+2)=0$

$-10(x-5)-5(y+1)-4(z+2)=0$

$-10x+50-5y-5-4z-8=0$

$-10x-5y-4z+37=0$

En definitiva, la ecuación implícita, general o cartesiana del plano en cuestión es:

$\bm{-10x-5y-4z+37=0}$

Ejercicio 4

Calcula la ecuación implícita o general del plano en el espacio que pasa por el punto $P(3,4,-3)$ y uno de sus vectores normales es $\vv{n}=(5,-2,-3) .$