Distancia de una recta a un plano en el espacio

Aquí encontrarás cómo se calcula la distancia de una recta a un plano y, además, podrás ver ejemplos y ejercicios resueltos paso a paso.

¿Cuál es la distancia de una recta a un plano?

En geometría analítica, la distancia entre una recta y un plano en el espacio depende de la posición relativa entre estos dos elementos geométricos:

  • Si la recta está incluida en el plano o si la recta y el plano son paralelos, la distancia entre ellos es nula.
  • Si la recta es paralela al plano, la distancia de la recta al plano se halla tomando cualquier punto de la recta y calculando la distancia que hay desde ese punto hasta el plano.
distancia de una recta a un plano en el espacio

Por lo tanto, para poder calcular la distancia de una recta a un plano es imprescindible que sepas cómo se determina la posición relativa entre una recta y un plano y cómo calcular la distancia entre un punto y un plano. Así que si no lo tienes del todo claro o no sabes las fórmulas te recomendamos que primero le eches un vistazo a las páginas enlazadas, donde encontrarás las explicaciones, ejemplos y ejercicios resueltos paso a paso.

Ejemplo de cómo calcular la distancia entre una recta y un plano

Para que puedas ver cómo hallar la distancia entre una recta y un plano en el espacio (en R3), vamos a resolver un problema a modo de ejemplo:

  • ¿Cuál es la distancia de la recta r al plano \pi?

 \displaystyle r: \ \begin{cases}x=-2+t \\[1.7ex] y=1-3t \\[1.7ex] z=-1+2t\end{cases}

 \pi : \ 4x+2y+z-6=0

Para encontrar la distancia entre la recta y el plano, primero debemos averiguar la posición relativa entre ambos.

Por un lado, la recta está definida en forma de ecuaciones paramétricas, por lo tanto, su vector director y un punto por el que pasa son:

 \displaystyle r: \ \begin{cases} \vv{\text{v}}_r =(1,-3,2) \\[2ex] P(-2,1,-1) \end{cases}

Y, por otro lado, el vector normal al plano es:

 \vv{n} =(4,2,1)

Entonces, para determinar la posición relativa entre el plano y la recta, tenemos que calcular el producto escalar entre el vector director de la recta y el vector normal al plano:

 \begin{aligned} \vv{\text{v}}_r \cdot \vv{n} & = (1,-3,2) \cdot (4,2,1) \\[2ex] & = 1 \cdot 4-3 \cdot 2 +2\cdot 1 \\[2ex] &= 4 -6 +2 \\[2ex] & = 0\end{aligned}

El resultado del producto escalar es igual a cero, de modo que la recta solo puede estar contenida en el plano o ser paralela a él. Así pues, para averiguar de qué caso se trata, sustituimos las coordenadas cartesianas del punto de la recta en la ecuación del plano:

 4x+2y+z-6=0 \ \xrightarrow{P(-2,1,-1)} \ 4\cdot (-2) +2\cdot 1 -1-6= 0

-8+2-1-6 = 0

 -13 \neq 0

Al sustituir el punto de la recta en la ecuación del plano obtenemos una desigualdad, por lo tanto, el punto no cumple con la ecuación del plano y, en consecuencia, la recta y el plano son paralelos.

Una vez sabemos que la recta y el plano son paralelos, ya podemos calcular la distancia geométrica entre ellos. Para ello, cogemos el punto de la recta y calculamos la distancia que hay desde ese punto hasta el plano.

 P(-2,1,-1) \qquad \qquad \pi: \ 4x+2y+z-6=0

Así pues, utilizamos la fórmula de la distancia de un punto a un plano:

 d(P,\pi) = \cfrac{\lvert A\cdot x_0+B\cdot y_0+C\cdot z_0+D\rvert}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}

Ahora sustituimos el valor de cada incógnita en la fórmula:

d(P,\pi) = \cfrac{\lvert 4\cdot (-2)+2\cdot 1+1\cdot (-1)-6\rvert}{\sqrt{4^2+2^2+1^2}}

Y, finalmente, hacemos las operaciones:

d(P,\pi) = \cfrac{\lvert -8+2-1-6\rvert}{\sqrt{16+4+1}}

d(P,\pi) = \cfrac{\lvert -13\rvert}{\sqrt{21}}

d(P,\pi) = \cfrac{13}{\sqrt{21}}

De manera que la distancia entre la recta y el plano es equivalente a la distancia entre el punto y el plano calculada:

\bm{d(r,\pi)=d(P,\pi) = }\cfrac{\bm{13}}{\bm{\sqrt{21}}}

Evidentemente, la distancia siempre nos debe dar de valor positivo, porque las distancias siempre son positivas. Si obtenemos un resultado negativo significa que nos hemos equivocado al hacer algún paso.

2 comentarios en “Distancia de una recta a un plano en el espacio”

  1. Cuando calculo el producto escalar entre el vector director de la recta y el vector normal al plano me da distinto de 0 que posición relativa tendría ?

    1. Geometría Analítica

      Hola Valentina,

      Cuando el resultado del producto escalar entre el vector director de la recta y el vector normal al plano es diferente de cero, significa que la recta y el plano son secantes.
      Puedes ver un ejemplo de este tipo buscando en nuestro buscador las posiciones relativas entre una recta y un plano.

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