Calcular el punto de corte o intersección entre dos rectas

Aquí encontrarás cómo se calcula el punto de corte (o intersección) entre dos rectas. También verás ejemplos y podrás practicar con ejercicios resueltos paso a paso.

¿Qué es el punto de corte o intersección entre dos rectas?

El punto de intersección (o de corte) entre dos rectas es el punto donde se cruzan dos rectas distintas. Por lo tanto, cuando dos rectas distintas tienen un punto de intersección o de corte significa que coinciden en un punto.

punto de interseccion o de corte

Para que dos rectas se corten en un punto estas deben ser rectas secantes, ya que las rectas paralelas no se tocan en ningún punto.

Si ahora no recuerdas del todo cuáles son las rectas secantes, te recomendamos que le eches un vistazo a nuestra página de ejemplos de rectas secantes, donde encontrarás la explicación detallada de qué son este tipo de rectas y cómo saber si dos rectas son secantes o no.

¿Cómo calcular el punto de corte o intersección entre dos rectas?

Una vez vista la definición del punto de corte o intersección entre dos rectas, veamos ahora cómo se calcula dicho punto.

Para encontrar el punto de corte (o intersección) entre dos rectas primero debemos asegurarnos de que las dos rectas no son paralelas, porque si se trata de dos rectas paralelas no se cortarán en ningún punto. Por lo tanto, primero debes saber cómo determinar cuándo dos rectas son paralelas y cuándo no; si no recuerdas cómo se hace puedes repasarlo clicando en el enlace.

Una vez sabemos que las dos rectas no son paralelas, para determinar el punto de corte (o intersección) entre las dos rectas se debe resolver el sistema de ecuaciones formado por la ecuación de cada recta. Y el resultado de dicho sistema de ecuaciones serán las coordenadas del punto de corte (o intersección) entre las dos rectas.

Ejemplo de cómo hallar el punto de corte o intersección entre dos rectas

A modo de ejemplo, vamos a resolver un problema para que puedas ver cómo sacar el punto de corte (o intersección) entre 2 rectas:

  • Calcula el punto de intersección entre las siguientes dos rectas:

 r: \ y=4x-1 \qquad \qquad s: \ y=-2x+5

En primer lugar, las rectas no son paralelas porque tienen diferente pendiente, por lo tanto, ambas se intersecan en algún punto del plano cartesiano.

Para averiguar dicho punto, debemos resolver el sistema de ecuaciones compuesto por la ecuación de cada recta:

 \left. \begin{array}{l} y=4x-1 \\[2ex]  y=-2x+5 \end{array} \right\}

En este caso particular, resolveremos el sistema por el método de igualación ya que las dos incógnitas y ya están despejadas (ambas rectas están en forma de ecuación explícita):

 y= y

 4x-1=-2x+5

Despejamos el valor de la variable x:

 4x+2x=5+1

 6x=6

 x = \cfrac{6}{6}

 x = 1

Y una vez sabemos cuánto vale x, sustituimos su valor en cualquier ecuación para hallar el valor de y:

 y=4x-1 \ \xrightarrow{x \ = \ 1} \ y=4\cdot 1-1

 y =4-1

 y =3

De forma que las coordenadas del punto de corte entre las dos rectas son:

 \bm{(1,3)}

Ejercicios resueltos del punto de corte o intersección entre dos rectas

Ejercicio 1

¿Cuál es el punto de corte o intersección entre las siguientes dos rectas?

 r: \ y=x+5 \qquad \qquad s: \ y=2x+3

En primer lugar, las rectas no son paralelas porque tienen distinta pendiente, por lo que las dos rectas coincidirán en algún punto del plano.

Para calcular dicho punto, debemos resolver el sistema de ecuaciones formado por la ecuación de cada recta:

 \left. \begin{array}{l} y=x+5 \\[2ex]  y=2x+3 \end{array} \right\}

En este caso, resolveremos el sistema de ecuaciones por el método de igualación ya que las dos incógnitas y ya están despejadas (ambas rectas están en forma de ecuación explícita):

 y= y

 x+5=2x+3

Despejamos el valor de la variable x:

 x-2x=3-5

 -x=-2

 x=2

Y una vez sabemos cuánto vale x, sustituimos su valor en cualquier ecuación para hallar el valor de y:

 y=x+5 \ \xrightarrow{x \ = \ 2} \ y=2+5

 y =7

De modo que las coordenadas del punto de intersección entre las dos rectas son:

 \bm{(2,7)}

 

Ejercicio 2

Halla el punto de corte o intersección entre las siguientes dos rectas:

 r: \ y=-3x+1 \qquad \qquad s: \ 4x+2y+6=0

La recta  s está expresada en forma de ecuación implícita (o general), así que primero la pasaremos a forma de ecuación explícita para saber el valor de su pendiente:

 4x+2y+6=0

 2y=-4x-6

 y=\cfrac{-4x-6}{2}

 y=-2x-3

De manera que las dos rectas poseen pendientes diferentes y, por tanto, existe un punto de corte entre ellas.

Para calcular dicho punto, debemos resolver el sistema de ecuaciones formado por la ecuación de cada recta:

 \left. \begin{array}{l} y=-3x+1\\[2ex]  y=-2x-3 \end{array} \right\}

Resolvemos el sistema de ecuaciones por el método de igualación:

 y= y

 -3x+1=-2x-3

Despejamos el valor de la variable x:

 -3x+2x=-3-1

 -x=-4

 x=4

Y una vez sabemos cuánto vale x, sustituimos su valor en cualquiera de las ecuaciones para hallar el valor de y:

 y=-3x+1 \ \xrightarrow{x \ = \ 4} \ y=-3\cdot 4+1

 y =-12+1

 y =-11

Con lo que las coordenadas del punto de intersección entre las dos rectas son:

 \bm{(4,-11)}

 

Ejercicio 3

Determina el punto de corte o intersección entre las siguientes dos rectas:

 \displaystyle r: \ \begin{cases} x=1+2t \\[1.7ex] y=-2-3t \end{cases} \qquad \qquad s: \ 4x+2y+8=0

En primer lugar, debemos averiguar si se trata de dos rectas paralelas o no. Para ello, miraremos si los vectores directores de las dos rectas son proporcionales.

La recta r está definida en forma de ecuaciones paramétricas, así que las componentes de su vector director son los coeficientes de delante del parámetro t:

 \vv{r} =(2,-3)

Y, por otro lado, la recta  s está descrita en forma de ecuación implícita, por lo que su el vector director es:

 \vv{s} =(-B,A)=(-2,4)

De forma que las componentes de los dos vectores directores no son proporcionales entre sí, por lo tanto, las dos rectas no son paralelas.

 \cfrac{2}{-2} \neq \cfrac{-3}{4} \ \longrightarrow \ r \ \cancel{\parallel} \ s

Y como las dos rectas no son paralelas, implica que efectivamente hay un punto de intersección entre ambas. Para calcularlo, debemos resolver el sistema de ecuaciones formado por la ecuación de cada recta:

 \displaystyle r: \ \begin{cases} x=1+2t \\[1.7ex] y=-2-3t \end{cases} \qquad \qquad s: \ 4x+2y+8=0

En este caso, como la recta r está en forma de ecuaciones paramétricas, debemos sustituir la expresión de cada ecuación paramétrica en la ecuación de la otra recta:

 4(1+2t)+2(-2-3t)+8=0

Ahora resolvemos la ecuación resultante:

 4+8t-4-6t+8=0

 8t-6t=-8-4+4

 2t=-8

 t=\cfrac{-8}{2}

 t=-4

Y sustituimos el valor de t hallado en las ecuaciones paramétricas para hallar las coordenadas del punto de corte:

 \displaystyle r: \ \begin{cases} x=1+2t \\[1.7ex] y=-2-3t \end{cases}

\begin{cases} x=1+2(-4)=1-8=-7 \\[1.7ex] y=-2-3(-4)=-2+12=10\end{cases}

De manera que el punto de intersección entre las dos rectas es:

 \bm{(-7,10)}

 

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