Ecuación de la recta que pasa por dos puntos (fórmula)

Aquí encontrarás la fórmula para hallar rápidamente la ecuación de la recta que pasa por dos puntos. Además, podrás ver ejemplos y practicar con ejercicios resueltos de ecuaciones de la recta que queda determinada por 2 puntos.

Fórmula de la ecuación de la recta que pasa por dos puntos

Un problema típico de las ecuaciones de la recta es calcular la ecuación de la recta que queda determinada por dos puntos dados. Aunque existen varios métodos para resolver este tipo de problemas, a continuación te proporcionamos una fórmula con la que podrás encontrar directamente la ecuación de dicha recta de manera fácil y rápida:

Dados dos puntos cualesquiera que pertenecen a una recta:

P_1(x_1,y_1) \qquad \qquad P_2(x_2,y_2)

La fórmula para hallar la ecuación de la recta a partir de sus 2 puntos es:

y-y_1= \cfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1} (x-x_1)

La fórmula de la ecuación de la recta dados dos puntos suyos se deduce de la ecuación punto-pendiente de la recta:

y-y_1= m (x-x_1)

Como la pendiente de una recta se puede calcular mediante la siguiente expresión:

m=\cfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}

Resulta la fórmula de la ecuación dadas las coordenadas de dos puntos:

y-y_1= \cfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1} (x-x_1)

Por lo tanto, para determinar la ecuación de una recta solo es necesario conocer dos puntos por los que pasa.

Ejemplo de cómo hallar la ecuación de la recta dados dos puntos

Una vez hemos visto cuál es la fórmula de la ecuación de la recta dados 2 puntos de ella, veamos ahora cómo se resuelve un ejercicio típico de ecuaciones de la recta:

  • ¿Cuál es la ecuación de la recta que pasa por los siguientes dos puntos?

P_1 (3,1) \qquad \qquad P_2(-2,5)

Como ya conocemos dos puntos que de la recta, utilizamos directamente la fórmula para calcular su ecuación:

y-y_1= \cfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1} (x-x_1)

Ahora sustituimos las coordenadas de los puntos en la fórmula:

y-1= \cfrac{5-1}{-2-3} (x-3)

Y, finalmente, calculamos la pendiente de la recta:

y-1= \cfrac{4}{-5} (x-3)

De modo que la ecuación de la recta que pasa por esos dos puntos es:

\bm{y-1=-} \mathbf{\cfrac{4}{5}}\bm{ (x-3)}

Como el enunciado no nos dice lo contrario, no hace falta simplificar más la ecuación de la recta, aunque quede una fracción en ella.

Ejercicios resueltos de la ecuación de la recta que pasa por dos puntos

Ejercicio 1

Halla la ecuación de la recta que pasa por los siguientes dos puntos:

P_1 (4,-1) \qquad \qquad P_2(5,2)

Como ya sabemos dos puntos de la recta, aplicamos directamente la fórmula de la ecuación de la recta dados 2 puntos:

y-y_1= \cfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1} (x-x_1)

Ahora sustituimos las coordenadas cartesianas de los puntos en la fórmula:

y-(-1)= \cfrac{2-(-1)}{5-4} (x-4)

Y, por último, calculamos la pendiente de la recta:

y+1= \cfrac{3}{1} (x-4)

y+1= 3(x-4)

Así que la ecuación de la recta que pasa por esos dos puntos es:

\bm{y+1= 3(x-4)}

 

Ejercicio 2

Calcula la ecuación de la recta que pasa por los siguientes dos puntos:

P_1 (-2,0) \qquad \qquad P_2(-3,1)

Como ya sabemos dos puntos que pertenecen a la recta, usamos directamente la fórmula de la ecuación de la recta conocidos 2 puntos:

y-y_1= \cfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1} (x-x_1)

Ahora sustituimos las coordenadas de los puntos en la fórmula:

y-0= \cfrac{1-0}{-3-(-2)} (x-(-2))

Y, por último, realizamos las operaciones:

y= \cfrac{1}{-1} (x+2)

y= -(x+2)

y= -x-2

De forma que la ecuación de la recta que pasa por esos dos puntos es:

\bm{y= -x-2}

 

Ejercicio 3

Sin hacer ningún cálculo, determina un punto que sea de la siguiente recta:

y-2= 4(x+1)

Se puede deducir un punto de la recta a partir de la fórmula de la ecuación de la recta que pasa por 2 puntos:

y-y_1= \cfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1} (x-x_1)

La coordenada Y del punto será el término de delante la variable y cambiado de signo, y la coordenada X del punto será el número de dentro del paréntesis negado:

\bm{P(-1,2)}

 

Ejercicio 4

Encuentra un tercer punto de la recta que queda definida por los siguientes dos puntos:

P_1 (4,1) \qquad \qquad P_2(2,-3)

Primero debemos encontrar la ecuación de la recta con la fórmula:

y-y_1= \cfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1} (x-x_1)

y-1= \cfrac{-3-1}{2-4} (x-4)

y-1= \cfrac{-4}{-2} (x-4)

y-1= 2(x-4)

Y una vez hallada la ecuación de la recta que pasa por los dos puntos, calculamos un tercer punto dando un valor cualquiera a una de las variables. Por ejemplo, nosotros haremos x=0:

y-1= 2(x-4) \ \xrightarrow{x \ = \ 0} \ y-1= 2(0-4)

y-1=2\cdot (-4)

y-1=-8

y=-8+1

y=-7

Por lo que las coordenadas de otro punto que pertenece a la recta son:

\bm{P(0,-7)}

 

18 comentarios en “Ecuación de la recta que pasa por dos puntos (fórmula)”

    1. Geometría Analítica

      Hola Pato,

      Si utilizamos la ecuación explícita de la recta, su expresión algebraica es la siguiente:
      y=mx+n

      El enunciado del problema nos dice que la pendiente de la recta es nula, esto es, m=0. Por tanto:
      y=0\cdot x +n \ \longrightarrow \ y=n

      Finalmente, si la recta pasa por el punto (-3,0) significa que Y vale 0 en ese punto y, como no tiene pendiente, valdrá lo mismo en todos los demás puntos. De modo que la ecuación de dicha recta es:
      y=0

  3. cce

    HALLAR LA ECUACION GENERAL DE LA RECTA QUE PASA POR LOS PUNTOS :
    P1 (-5, 3) Y P2 (4, 3)
    P1 (-4, 3) Y P2 (3, 2)
    P1 (-2, 3) Y P2 (3,3)
    P1 (5, 4) Y P2 (3,1)
    P1 (-2, -2) Y P2 (4,6)

    Responder
    1. Geometría Analítica

      Hola cce,

      Para encontrar la ecuación general de una recta primero debes calcular su vector director y luego utilizar la fórmula correspondiente. Puedes consultar cómo se hace en nuestro artículo de la ecuación general de la recta.

    1. Geometría Analítica

      Hola Salette,

      Para encontrar la ecuación general de la recta primero debes calcular el vector director de la recta y luego hallar los coeficientes A, B y C. O también puedes determinar la ecuación punto-pendiente de la recta y a partir de ahí deducir su ecuación general.

      Tienes la explicación detallada de cómo se hace en nuestro artículo de la ecuación general de la recta.

    1. Geometría Analítica

      Hola Hector,

      Para calcular la ecuación de la recta debes aplicar la fórmula tal y como se enseña en este artículo:

      y-y_1= \cfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1} (x-x_1)

      y-(-3)= \cfrac{9-(-3)}{2-5} (x-5)

      y+3= \cfrac{12}{3} (x-5)

      y+3=4(x-5)

  6. Lisette

    Hola! Tengo un ejercicio que realmente no entiendo. Dice así:
    – Pasa por (2, -3) y no tiene pendiente.
    Espero me puedan ayudar.

    Responder
    1. Geometría Analítica

      Hola Lisette,

      Si la recta no tiene pendiente significa que m=0. Por lo tanto, usando la ecuación punto-pendiente de la recta, su expresión quedaría:

      y-y_0=m(x-x_0)

      y-y_0=0\cdot (x-x_0)

      y-y_0=0

      Ahora sustituimos las coordenadas del punto y despejamos y para hallar la ecuación de la recta:

      y-(-3)=0

      y-3=0

      y=3

    1. Geometría Analítica

      Hola Johana,

      Dada la ecuación explícita de la recta:
      y=mx+n

      Para encontrar la ecuación de la recta, se deben determinar los parámetros m y n. Si la pendiente de la recta es 0, significa que m=0.

      Sin embargo, para hallar el parámetro n necesitas más datos, como por ejemplo un punto por el que pasa la recta.

  9. Danilo

    Buenas. ¿Que pasaría si los 2 puntos tienen x1 = x2, el denominador de la pendiente daría 0. En ese caso ¿Como funciona esta solución?

    Responder
    1. Geometría Analítica

      Hola Danilo,

      Si dos puntos de una recta tienen la misma coordenada X, significa que la pendiente de la recta es infinita ya que efectivamente el denominador de la fórmula da 0. Por lo tanto, se trata de una recta vertical en el sistema coordenadas definido.

      En tal caso, esta fórmula no se puede utilizar y la ecuación de la recta sería de la forma x=k, donde k es la única coordenada X de la recta.

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