Distancia entre dos rectas paralelas

En esta página encontrarás cómo determinar la distancia entre dos rectas paralelas. Además, podrás ver ejemplos y practicar con ejercicios resueltos de distancias entre rectas paralelas.

¿Qué son dos rectas paralelas?

Antes de ver cómo se calcula la distancia entre dos rectas que son paralelas, repasemos muy brevemente el concepto de paralelismo entre dos rectas:

Las rectas paralelas son aquellas líneas que nunca se cortan, es decir, aunque se prolongue sus trayectorias hasta el infinito nunca llegan a tocarse. Por lo tanto, los puntos de dos rectas paralelas siempre están a una misma distancia entre sí y, además, dos rectas paralelas no tienen ningún punto en común.

Por ejemplo, las siguientes dos rectas son paralelas:

que es una recta paralela

Se suele indicar que dos rectas son paralelas con 2 barras verticales || entre las rectas.

Por otro lado, a pesar de que dos rectas paralelas nunca se cruzan, en geometría analítica se dice que forman un ángulo de 0º ya que tienen la misma dirección.

Cómo calcular la distancia entre dos rectas paralelas en el plano

Para hallar la distancia entre dos rectas paralelas en el plano (en R2), solo tenemos que coger un punto de cualquiera de las dos rectas y calcular la distancia que hay desde ese punto hasta la otra recta.

Lo podemos hacer de esta manera porque dos rectas paralelas siempre están a una misma distancia entre ellas.

distancia entre dos rectas paralelas

De modo que para encontrar la distancia entre dos rectas paralelas, debes saber cuál es la fórmula de la distancia entre un punto y una recta. Si no recuerdas cómo era, en el enlace puedes repasar cómo se determina la distancia entre un punto y una recta, además, podrás ver ejemplos y ejercicios resueltos paso a paso.

Por otro lado, si al usar la fórmula obtenemos una distancia de 0 unidades, significa que las rectas se tocan en algún punto y, por tanto, las rectas no son paralelas, sino que son secantes, coincidentes o perpendiculares. Si quieres puedes consultar las diferencias entre este tipo de rectas en nuestra web.

Ejemplo de cómo hallar la distancia entre dos rectas paralelas

Veamos ahora cómo se resuelve un problema de distancia entre dos rectas paralelas mediante un ejemplo:

  • Encuentra la distancia entre las siguientes dos rectas paralelas:

r: \ 2x-4y-6=0 \qquad \qquad s: \ -x+2y+4=0

Lo primero que debemos hacer es conseguir un punto de una de las rectas (la que quieras). En este caso calcularemos un punto de la recta s. Para ello, tenemos que dar un valor a una de las variables, nosotros haremos por ejemplo x=0:

 -x+2y+4 =0 \ \xrightarrow{x \ = \ 0} \ -0+2y+4=0

Y ahora despejamos la otra variable (y) de la ecuación obtenida para saber cuánto vale en este punto:

 2y=-4

 y= \cfrac{-4}{2}

 y= -2

Por tanto, el punto obtenido de la recta s es:

 P(0,-2)

Y una vez ya tenemos un punto de una recta, calculamos la distancia desde ese punto hasta la otra recta mediante la fórmula de la distancia de un punto a una recta:

d(P,r)= \cfrac{\lvert A\cdot p_x + B\cdot p_y +C\rvert}{\sqrt{A^2+B^2}}

d(P,r)= \cfrac{\lvert 2\cdot 0 + (-4)\cdot (-2) +(-6)\rvert}{\sqrt{2^2+(-4)^2}}= \cfrac{\lvert 0+8-6\rvert}{\sqrt{4+16}}={\cfrac{2}{\sqrt{20}}=\bm{0,45}

De forma que la distancia entre las dos rectas paralelas es equivalente a 0,45 unidades.

Ejercicios resueltos de distancias entre dos rectas paralelas

Ejercicio 1

¿Cuál es la distancia entre las siguientes dos rectas paralelas?

r: \ x+3y-4=0 \qquad \qquad s: \ 2x+6y+6=0

Antes de nada, vamos a comprobar que sean dos rectas paralelas. Para ello, los coeficientes de las variables x e y deben ser proporcionales entre sí pero no con los términos independientes:

\cfrac{1}{2} = \cfrac{3}{6}\neq \cfrac{-4}{6} \ \longrightarrow \ \text{Paralelas}

Efectivamente, las rectas son paralelas, así que podemos aplicar el procedimiento.

Ahora debemos conseguir un punto de una de las rectas (la que quieras). En este caso calcularemos un punto de la recta s. Para ello tenemos que otorgar un valor a una de las variables, nosotros haremos por ejemplo x=0:

 2x+6y+6=0 \ \xrightarrow{x \ = \ 0} \ 2\cdot 0+6y+6=0

Y ahora despejamos la otra variable (y) de la ecuación obtenida para averiguar su valor en este punto:

 6y=-6

 y= \cfrac{-6}{6}

 y= -1

De modo que el punto obtenido de la recta s es:

 P(0,-1)

Una vez conocemos un punto de una recta, calculamos la distancia desde ese punto hasta la otra recta con la fórmula:

d(P,r)= \cfrac{\lvert A\cdot p_x + B\cdot p_y +C\rvert}{\sqrt{A^2+B^2}}

d(P,r)= \cfrac{\lvert 1\cdot 0 + 3\cdot (-1) +(-4)\rvert}{\sqrt{1^2+3^2}}= \cfrac{7}{\sqrt{10}}=\bm{2,21}

 

Ejercicio 2

Calcula la distancia entre las siguientes dos rectas paralelas:

r: \ 2x+y+5=0 \qquad \qquad s: \ 8x+4y-4=0

Antes de nada, vamos a comprobar que sean dos rectas paralelas. Para ello, los coeficientes de las variables x e y deben ser proporcionales entre sí pero no con los términos independientes:

\cfrac{2}{8} = \cfrac{1}{4}\neq \cfrac{5}{-4} \ \longrightarrow \ \text{Paralelas}

Efectivamente, las rectas son paralelas, así que podemos aplicar el procedimiento.

Ahora debemos conseguir un punto de una de las rectas (la que quieras). En este caso calcularemos un punto de la recta s. Para ello tenemos que dar un valor a una de las variables, nosotros haremos por ejemplo x=0:

 8x+4y-4=0 \ \xrightarrow{x \ = \ 0} \ 8\cdot 0+4y-4=0

Y ahora despejamos la otra variable (y) de la ecuación resultante para averiguar su valor en este punto:

 4y=4

 y= \cfrac{4}{4}

 y= 1

De modo que el punto obtenido de la recta s es:

 P(0,1)

Una vez conocemos un punto de una recta, calculamos la distancia desde ese punto hasta la otra recta con la fórmula:

d(P,r)= \cfrac{\lvert A\cdot p_x + B\cdot p_y +C\rvert}{\sqrt{A^2+B^2}}

d(P,r)= \cfrac{\lvert 2\cdot 0 + 1\cdot 1 +5\rvert}{\sqrt{2^2+1^2}}= \cfrac{6}{\sqrt{5}}=\bm{2,68}

 

Ejercicio 3

Calcula el valor de la incógnita k para que la distancia entre las siguientes dos rectas sea de 5 unidades.

 r: \ 6x-8y+10=0 \qquad \qquad s: \ -3x+4y+k=0

Como estamos trabajando en dos dimensiones, para que la distancia entre las dos rectas no sea nula, estas deben ser paralelas. Por lo tanto, vamos a plantear la ecuación intentando calcular la distancia entre las dos rectas con la fórmula de la distancia entre un punto y una recta, y de esa ecuación obtendremos el valor de k.

Para ello, necesitamos calcular un punto de la recta r:

  6x-8y+10=0 \ \xrightarrow{x \ = \ 1} \ 6\cdot 1 -8y+10=0

 6-8y+10=0

 -8y=-16

 y=\cfrac{-16}{-8} = 2

De manera que un punto de la recta r es:

 P(1,2)

Ahora intentamos calcular la distancia entre el el punto que pertenece a la recta r (el punto P) y la recta s con la fórmula:

d(P,s)= \cfrac{\lvert A\cdot p_x + B\cdot p_y +C\rvert}{\sqrt{A^2+B^2}}

Sustituimos cada término por su valor y simplificamos la expresión:

d(P,s)= \cfrac{\lvert -3\cdot 1 + 4\cdot 2+k\rvert}{\sqrt{(-3)^2+4^2}}= \cfrac{\lvert -3+8+k\rvert}{\sqrt{9+16}}=\cfrac{\lvert 5+k\rvert}{\sqrt{25}}=\cfrac{\lvert 5+k\rvert}{5}

El enunciado del problema nos dice que la distancia entre las dos rectas debe ser igual a 5, por lo que igualamos la expresión anterior a 5:

\cfrac{\lvert 5+k\rvert}{5}=5

Y resolvemos la ecuación resultante. En el numerador de la fracción hay un valor absoluto, por tanto, debemos analizar por separado cuando el valor absoluto es positivo y cuando es negativo:

\cfrac{+(5+k)}{5}=5

 5+k= 5 \cdot 5

 5+k= 25

 k= 25-5

 \bm{k= 20}

\cfrac{-(5+k)}{5}=5

 -5-k= 5 \cdot 5

 -5-k= 25

 -5-25=k

 \bm{-30=k}

Por tanto, existen dos posibles valores de k correctos: k=20 o k=-30.

 

4 comentarios en “Distancia entre dos rectas paralelas”

  1. Muchísimas gracias, super bien explicado, había estado buscando una explicación así hace bastante ya, solo perdía tiempo y no conseguía entender nada. Ahora, en cambio, es todo lo contrario.

    1. Geometría Analítica

      ¡Muchísimas gracias por tu comentario Simón! ¡Comentarios así ayudan a seguir trabajando y a hacerlo lo mejor posible! ❤

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