Cómo normalizar un vector

En esta página encontrarás el significado de un vector normalizado y de cómo se normaliza cualquier vector con varios ejemplos, tanto en 2 como en 3 dimensiones. Y, además, hallarás las utilidades que tiene normalizar un vector.

¿Qué significa normalizar un vector?

Normalizar un vector significa transformarlo en un vector con la misma dirección y el mismo sentido pero de módulo igual a 1. Es decir, el proceso de normalización de un vector implica cambiar su longitud manteniendo su dirección y su sentido.

Por lo tanto, un vector normalizado sirve principalmente para indicar una dirección y un sentido.

Por otro lado, cuando se normaliza un vector también se está calculando un vector unitario a la vez, porque un vector unitario es cualquier vector cuyo módulo es igual a 1.

Fórmula para normalizar un vector

Para normalizar un vector se debe dividir cada una de las componentes del vector por su módulo:

\vv{\text{u}} = \cfrac{\vv{\text{v}}}{\lvert \vv{\text{v}}\rvert}

Donde \vv{\text{u}} es el vector normalizado de \vv{\text{v}}.

Ejemplo de cómo normalizar un vector en R2

A modo de ejemplo, vamos a hacer la normalización del siguiente vector bidimensional:

 \vv{\text{v}}= (4,3)

Primero tenemos que calcular el módulo (o magnitud) del vector. Por si no recuerdas cómo se hace aquí puedes consultar cuál es la fórmula del módulo de un vector. De modo que utilizamos dicha fórmula:

\lvert  \vv{\text{v}} \rvert = \sqrt{4^2+3^2} = \sqrt{25} = 5

Y luego dividimos el vector entre su módulo para obtener el vector normalizado:

\displaystyle \vv{\text{u}} = \cfrac{\vv{\text{v}}}{\lvert \vv{\text{v}}\rvert} = \cfrac{(4,3)}{5} = \left( \frac{4}{5} , \frac{3}{5} \right)

Normalmente, cuando se normaliza un vector se deja en forma de fracción, pero puedes pasarlo a decimales sin problema.

Ejemplo de cómo normalizar un vector en R3

Para que puedas ver otro ejemplo, vamos a normalizar el siguiente vector tridimensional:

 \vv{\text{v}}= (2,-1,4)

En primer lugar, calculamos el módulo del vector:

\lvert  \vv{\text{v}} \rvert = \sqrt{2^2+(-1)^2+4^2} = \sqrt{21}

Y, finalmente, dividimos el vector entre su módulo para normalizarlo:

\displaystyle \vv{\text{u}} = \cfrac{\vv{\text{v}}}{\lvert \vv{\text{v}}\rvert} = \cfrac{(2,-1,4)}{\sqrt{21}} = \left( \frac{2}{\sqrt{21}} , \frac{-1}{\sqrt{21}} , \frac{4}{\sqrt{21}}\right)

¿Para qué sirve normalizar un vector?

Ver las aplicaciones que tiene la normalización vectorial no es fácil, incluso puede parecer que un vector normalizado es peor que un vector «normal», ya que frecuentemente tienen fracciones y es más difícil operar con fracciones.

Sin embargo, hay operaciones de vectores que se simplifican mucho si se utilizan vectores normalizados. Por ejemplo, hallar el ángulo entre dos vectores es más sencillo si estos dos tienen módulo (o magnitud) igual a uno. Además, el ángulo que forman dos vectores no depende de su longitud sino de su dirección, por lo que perfectamente se puede primero normalizar ambos vectores y luego encontrar el ángulo que forman.

Si estás más interesado en cómo se calcula el ángulo entre dos vectores y por qué es más sencillo hacerlo con vectores normalizados, puedes consultar la página de ángulo entre dos vectores. Aquí encontrarás toda la explicación, así como ejemplos y ejercicios resueltos.

Esta característica de los vectores normalizados es muy útil a nivel computacional. Ya que el tiempo que te ahorras para hacer una sola operación vectorial realmente es bajo. Pero si se tienen que realizar decenas de miles de operaciones, como puede ser el caso de un ordenador, la reducción del tiempo sí que es considerable.

Por último, las bases vectoriales que se suelen utilizar son bases ortonormales, porque con ellas es más fácil expresar las coordenadas de un vector y, además, facilitan muchos cálculos con matrices en álgebra lineal. Pues todos los vectores de este tipo de bases son vectores normalizados. Por ejemplo, el sistema de coordenadas cartesiano es una base ortonormal.

En conclusión, los vectores normalizados no son estrictamente necesarios ya que se podrían hacer todas las operaciones entre vectores sin ellos, pero facilitan mucho los cálculos.

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