Aquí encontrarás cómo se calcula el ángulo entre una recta y un plano. También podrás ver ejemplos y, además, practicar con ejercicios resueltos paso a paso de ángulos entre rectas y planos.
Índice
¿Cuál es el ángulo entre una recta y un plano?
El ángulo entre una recta y un plano es el ángulo que forman la recta con su proyección ortogonal en el plano.
El ángulo entre una recta y un plano es el complementario del ángulo que forman dicha recta y el vector normal al plano. Por lo tanto, el ángulo entre una recta y un plano se calcula a partir del ángulo que forman el vector director de la recta y el vector normal del plano.
Fórmula del ángulo entre una recta y un plano
Para deducir la fórmula del ángulo entre un plano y una recta es necesario que sepas cómo hallar el ángulo entre dos vectores. En la página enlazada encontrarás la explicación junto con ejemplos y ejercicios resueltos paso a paso, por lo que si no recuerdas cómo se hace te recomendamos que le eches un vistazo.
Así pues, como el ángulo entre una recta y un plano es complementario al ángulo entre el vector director de dicha recta y el vector normal a dicho plano , a partir de la fórmula del ángulo entre dos vectores se deduce que el ángulo entre una recta y un plano es equivalente a la siguiente expresión:
Por lo tanto, la fórmula del ángulo entre una recta y un plano es la siguiente:
Donde:
- es el vector directa de la recta.
- es el vector normal al plano.
Ejemplo de cómo calcular el ángulo entre una recta y un plano
Para que puedas ver cómo resolver este tipo de problemas, a continuación tienes un ejemplo del cálculo del ángulo entre una recta y un plano:
- Calcula el ángulo que forma la recta con el plano Siendo sus ecuaciones:
La recta está expresada en forma de ecuaciones paramétricas, así que su vector director es:
Por otro lado, el plano está definido en forma de ecuación implícita (o general), por lo que su vector normal es:
Entonces, una vez conocemos el vector director de la recta y el vector normal del plano, aplicamos la fórmula del ángulo entre una recta y un plano:
Sustituimos los vectores en la fórmula:
Y hacemos los cálculos:
Finalmente, invertimos el seno con la calculadora y hallamos el valor del ángulo:
De manera que el ángulo entre la recta y el plano es aproximadamente 51,80º.
Hay que tener en cuenta que si alguna vez obtenemos un resultado de 0º, significa que la recta y el plano son paralelos o que la recta está contenida en el plano. Y si el ángulo es igual a 90º, implica que la recta y el plano son perpendiculares.
Ejercicios resueltos del ángulo entre una recta y un plano
Ejercicio 1
Halla el ángulo que forma la recta con el plano Siendo sus ecuaciones:
La recta está expresada en forma de ecuación continua, así que su vector director es:
Por otra parte, el plano está en forma de ecuación implícita (o general), con lo que su vector normal es:
Entonces, una vez conocemos el vector director de la recta y el vector normal del plano, utilizamos la fórmula del ángulo entre una recta y un plano:
Finalmente, invertimos el seno y hallamos el valor del ángulo:
Por lo tanto, el ángulo que forman la recta y el plano es 4,10º.
Ejercicio 2
Determina el ángulo que forma la recta con el plano Siendo sus ecuaciones:
La recta está expresada con sus ecuaciones implícitas (o generales), por lo tanto, tenemos que hallar el vector director de la recta calculando el producto vectorial de los vectores normales a los 2 planos que determinan la recta:
Por otra parte, el vector normal al plano es:
Entonces, una vez conocemos el vector director de la recta y el vector normal del plano, utilizamos la fórmula del ángulo entre una recta y un plano:
Finalmente, invertimos el seno y hallamos el valor del ángulo:
Por lo tanto, el ángulo que forman la recta y el plano es de 46,33º.
Ejercicio 3
Encuentra, mediante la fórmula del ángulo entre una recta y un plano, el valor de necesario para que la recta y el plano sean paralelos.
En primer lugar, la recta está expresada en forma de ecuación vectorial, así que su vector director es:
Por otra parte, el plano está en forma de ecuación general, con lo que su vector normal es:
Entonces, para que los dos elementos geométricos sean paralelos, el ángulo entre ellos debe ser cero. Por lo tanto, la fórmula del ángulo entre una recta y un plano queda de la siguiente manera:
De modo que el producto escalar entre el vector director de la recta y el vector normal debe ser nulo. Y a partir de esta ecuación podemos determinar el valor de la incógnita
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