Ángulo entre dos planos en el espacio (fórmula)

En esta página encontrarás cómo se calcula el ángulo que forman dos planos en el espacio (fórmula). Además, podrás ver ejemplos y practicar con ejercicios resueltos.

Fórmula del ángulo entre dos planos

El ángulo entre dos planos es igual al ángulo que forman los vectores normales de dichos planos. Por tanto, para hallar el ángulo entre dos planos se calcula el ángulo que forman sus vectores normales, ya que son equivalentes.

Así pues, una vez sabemos exactamente qué es el ángulo entre dos planos, veamos la fórmula para calcular el ángulo entre dos planos en el espacio (en R3), que se deduce a partir de la fórmula del ángulo entre dos vectores:

Dada la ecuación general (o implícita) de dos planos distintos:

\pi_1 : \ A_1x+B_1y+C_1z+D_1=0

\pi_2 : \ A_2x+B_2y+C_2z+D_2=0

El vector normal de cada plano es:

\vv{n}_1=(A_1,B_1,C_1)

\vv{n}_2=(A_2,B_2,C_2)

Y el ángulo que forman estos dos planos se determina calculando el ángulo que forman sus vectores normales mediante la siguiente fórmula:

\displaystyle \cos(\alpha) =\cfrac{\lvert \vv{n}_1 \cdot \vv{n}_2\rvert}{\lvert \vv{n}_1 \rvert \cdot \lvert \vv{n}_2 \rvert}

Entonces, para poder determinar el ángulo que forman dos planos debes dominar el cálculo del producto escalar de dos vectores. Si no recuerdas cómo se hacía, en el enlace encontrarás los pasos a seguir para resolver el producto escalar entre dos vectores. Además, podrás ver ejemplos y ejercicios resueltos paso a paso.

Por otro lado, cuando los dos planos son perpendiculares o paralelos no es necesario aplicar la fórmula, porque el ángulo entre los 2 planos se puede determinar directamente:

  • El ángulo entre dos planos paralelos es de 0º, ya que sus vectores normales tienen la misma dirección.
  • El ángulo entre dos planos perpendiculares es de 90º, debido a que sus vectores normales también son perpendiculares (u ortogonales) entre sí y, por lo tanto, forman un ángulo recto.

Ejemplo de cómo calcular el ángulo entre dos planos

A continuación tienes un ejemplo resuelto para que puedas ver cómo determinar el ángulo entre dos planos distintos:

  • Calcula el ángulo entre los siguientes dos planos:

 \pi_1 : \ 3x-5y+z+4=0

 \pi_2 : \ 4x+2y+3z-1=0

Lo primero que debemos hacer es hallar el vector normal de cada plano. Así pues, las coordenadas X, Y, Z del vector perpendicular a un plano coinciden respectivamente con los coeficientes A, B y C de su ecuación general (o implícita):

 \vv{n}_1 = (3,-5,1)

 \vv{n}_2 = (4,2,3)

Y una vez sabemos el vector normal a cada plano, calculamos el ángulo que forman con la fórmula:

\displaystyle \cos(\alpha) =\cfrac{\lvert \vv{n}_1 \cdot \vv{n}_2\rvert}{\lvert \vv{n}_1 \rvert \cdot \lvert \vv{n}_2 \rvert}

De manera que debemos hallar el módulo de cada vector normal:

 \sqrt{3^2+(-5)^2+1^2}= \sqrt{9+25+1} = \sqrt{35}

 \sqrt{4^2+2^2+3^2}= \sqrt{16+4+9} = \sqrt{29}

Ahora sustituimos el valor de cada incógnita en la fórmula:

\displaystyle \cos(\alpha) =\cfrac{\lvert \vv{n}_1 \cdot \vv{n}_2\rvert}{\lvert \vv{n}_1 \rvert \cdot \lvert \vv{n}_2 \rvert}=\cfrac{\lvert (3,-5,1) \cdot (4,2,3)\rvert}{\sqrt{35} \cdot \sqrt{29} }

Calculamos el coseno del ángulo resolviendo el producto escalar de los dos vectores:

\displaystyle \cos(\alpha) =\cfrac{\lvert 3\cdot 4 + (-5)\cdot 2 +1 \cdot 3 \rvert}{\sqrt{35}\cdot \sqrt{29} }=\cfrac{\lvert 12-10+3 \rvert}{\sqrt{1015}}= \cfrac{5}{31,86}=0,16

Y, finalmente, determinamos el ángulo haciendo la inversa del coseno mediante la calculadora:

 \displaystyle \alpha = \cos^{-1}(0,16)=\bm{80,97º}

Ejercicios resueltos del ángulo entre dos planos

Ejercicio 1

Halla el ángulo entre los siguientes dos planos:

 \pi_1 : \ x+2z-5=0

 \pi_2 : \ 3x+y-4z+7=0

Lo primero que debemos hacer es hallar el vector normal de cada plano. Así pues, las coordenadas X, Y, Z del vector perpendicular a un plano son equivalentes respectivamente a los coeficientes A, B y C de su ecuación general (o implícita):

 \vv{n}_1 = (1,0,2)

 \vv{n}_2 = (3,1,-4)

Una vez conocemos el vector normal de cada plano, calculamos el ángulo que forman con la fórmula:

\displaystyle \cos(\alpha) =\cfrac{\lvert \vv{n}_1 \cdot \vv{n}_2\rvert}{\lvert \vv{n}_1 \rvert \cdot \lvert \vv{n}_2 \rvert}

De modo que debemos hallar el módulo de cada vector normal:

 \sqrt{1^2+0^2+2^2}= \sqrt{1+4} = \sqrt{5}

 \sqrt{3^2+1^2+(-4)^2}= \sqrt{9+1+16} = \sqrt{26}

Sustituimos el valor de cada incógnita en la fórmula:

\displaystyle \cos(\alpha) =\cfrac{\lvert \vv{n}_1 \cdot \vv{n}_2\rvert}{\lvert \vv{n}_1 \rvert \cdot \lvert \vv{n}_2 \rvert}=\cfrac{\lvert (1,0,2) \cdot (3,1,-4)\rvert}{\sqrt{5} \cdot \sqrt{26} }

Calculamos el coseno del ángulo:

\displaystyle \cos(\alpha) =\cfrac{\lvert 1\cdot 3 + 0\cdot 1 +2 \cdot (-4) \rvert}{\sqrt{5}\cdot \sqrt{26} }=\cfrac{\lvert 3-8 \rvert}{\sqrt{130}}= \cfrac{5}{11,4}=0,44

Y, por último, encontramos el ángulo que forman los dos planos invirtiendo el coseno con la calculadora:

 \displaystyle \alpha = \cos^{-1}(0,44)=\bm{63,99º}

 

Ejercicio 2

¿Cuál es el ángulo entre los siguientes dos planos?

 \pi_1 : \ 3x-2y+5z=0

 \pi_2 : \ 6x+3y-z-2=0

Lo primero que debemos hacer es hallar el vector normal de cada plano. Así pues, las coordenadas X, Y, Z del vector perpendicular a un plano son iguales respectivamente a los parámetros A, B y C de su ecuación general (o implícita):

 \vv{n}_1 = (3,-2,5)

 \vv{n}_2 = (6,3,-1)

Una vez conocemos el vector normal de cada plano, calculamos el ángulo que forman con la fórmula:

\displaystyle \cos(\alpha) =\cfrac{\lvert \vv{n}_1 \cdot \vv{n}_2\rvert}{\lvert \vv{n}_1 \rvert \cdot \lvert \vv{n}_2 \rvert}

De forma que debemos hallar el módulo de cada vector normal:

 \sqrt{3^2+(-2)^2+5^2}= \sqrt{9+4+25} = \sqrt{38}

 \sqrt{6^2+3^2+(-1)^2}= \sqrt{36+9+1} = \sqrt{46}

Sustituimos el valor de cada variable en la fórmula:

\displaystyle \cos(\alpha) =\cfrac{\lvert \vv{n}_1 \cdot \vv{n}_2\rvert}{\lvert \vv{n}_1 \rvert \cdot \lvert \vv{n}_2 \rvert}=\cfrac{\lvert (3,-2,5) \cdot (6,3,-1)\rvert}{\sqrt{38} \cdot \sqrt{46} }

Calculamos el coseno del ángulo:

\displaystyle \cos(\alpha) =\cfrac{\lvert 3\cdot 6 + (-2)\cdot 3 +5 \cdot (-1) \rvert}{\sqrt{38}\cdot \sqrt{46} }=\cfrac{\lvert 18-6-5 \rvert}{\sqrt{1748}}= \cfrac{7}{41,81}=0,17

Y, para terminar, determinamos el ángulo invirtiendo el coseno con la calculadora:

 \displaystyle \alpha = \cos^{-1}(0,17)=\bm{80,36º}

 

Ejercicio 3

Calcula el valor del parámetro k para que los siguientes dos planos sean perpendiculares:

 \pi_1 : \ x+2y-3z+1=0

 \pi_2 : \ -2x+5y+kz+4=0

En primer lugar, para hacer cálculos de ángulos entre planos siempre debemos encontrar el vector normal de cada plano:

 \vv{n}_1 = (1,2,-3)

 \vv{n}_2 = (-2,5,k)

Dos planos que son perpendiculares forman un ángulo de 90º, así que sus vectores normales también harán 90º. Por tanto podemos determinar el valor de la incógnita k con la fórmula del ángulo entre dos vectores:

\displaystyle \cos(\alpha) =\cfrac{\lvert \vv{n}_1 \cdot \vv{n}_2\rvert}{\lvert \vv{n}_1 \rvert \cdot \lvert \vv{n}_2 \rvert}

\displaystyle \cos(90º) =\cfrac{\lvert \vv{n}_1 \cdot \vv{n}_2\rvert}{\lvert \vv{n}_1 \rvert \cdot \lvert \vv{n}_2 \rvert}

\displaystyle 0 =\cfrac{\lvert \vv{n}_1 \cdot \vv{n}_2\rvert}{\lvert \vv{n}_1 \rvert \cdot \lvert \vv{n}_2 \rvert}

El denominador de la fracción está dividiendo todo el lado derecho de la ecuación, por lo que podemos pasarlo multiplicando al otro lado:

\displaystyle 0 \cdot \lvert \vv{n}_1 \rvert \cdot \lvert \vv{n}_2 \rvert =\lvert \vv{n}_1 \cdot \vv{n}_2\rvert

\displaystyle 0 =\vv{n}_1 \cdot \vv{n}_2

Ahora resolvemos el producto escalar entre los dos vectores normales:

 \displaystyle 0 =(1,2,-3) \cdot (-2,5,k)

 \displaystyle 0 =1 \cdot (-2) + 2\cdot 5 +(-3)\cdot k

 \displaystyle 0 =-2 +10-3k

 \displaystyle 0 =8-3k

Y, finalmente, despejamos la incógnita:

 \displaystyle 3k=8

 \displaystyle \bm{k =}\mathbf{\cfrac{8}{3}}

 

2 comentarios en “Ángulo entre dos planos en el espacio (fórmula)”

    1. Geometría Analítica

      Hola Micaela,

      No, para encontrar las ecuaciones de los planos necesitas más datos, sino podrían ser cualquier pareja de planos del espacio que cumplan la condición del ángulo.

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