Vectores linealmente independientes y dependientes (independencia y dependencia lineal)

En esta página explicamos que son tanto los vectores linealmente independientes como los linealmente dependientes. También, podrás ver ejemplos de cómo saber si un conjunto de vectores son linealmente dependientes o independientes. Y, además, encontrarás ejercicios y problemas resueltos paso a paso sobre la independencia y la dependencia lineal.

¿Qué son los vectores linealmente independientes?

Un conjunto de vectores libres son linealmente independientes si ninguno de ellos se puede escribir como una combinación lineal de los otros.

Es decir, dado un conjunto de vectores \vv{\text{v}}_1, \vv{\text{v}}_2,\ldots \vv{\text{v}}_n, estos son linealmente independientes si la única solución de la siguiente ecuación:

a_1\vv{\text{v}}_1+a_2\vv{\text{v}}_2+\dots + a_n\vv{\text{v}}_n=0

Son todos los coeficientes a_i iguales a 0:

a_1=a_2=\dots = a_n=0

Geométricamente, dos vectores son linealmente independientes si no tienen la misma dirección, esto es, si no son paralelos.

Para abreviar, a veces se dice directamente que son vectores LI. O, también, que los vectores tienen independencia lineal.

¿Qué son los vectores linealmente dependientes?

Evidentemente, los vectores linealmente dependientes significan lo opuesto a los linealmente independientes. Por lo tanto, su definición es:

Un conjunto de vectores libres del plano son linealmente dependientes si alguno de ellos se puede expresar como combinación lineal de otros vectores que forman el sistema.

Es decir, dado un conjunto de vectores \vv{\text{v}}_1, \vv{\text{v}}_2,\ldots \vv{\text{v}}_n, estos son linealmente dependientes si existe alguna solución de la siguiente ecuación:

a_1\vv{\text{v}}_1+a_2\vv{\text{v}}_2+\dots + a_n\vv{\text{v}}_n=0

En la que algún coeficiente a_i es diferente de 0:

a_i\neq 0

También se cumple el recíproco: si un vector es combinación lineal de otros vectores, entonces todos los vectores del conjunto son linealmente dependientes.

A parte, si dos vectores son paralelos implica que son linealmente dependientes.

En ocasiones también se abrevia y se dice simplemente que son vectores LD. O incluso que los vectores tienen dependencia lineal.

Ejemplo de cómo saber si los vectores son linealmente dependientes o independientes

A continuación vamos a ver un ejemplo típico de vectores linealmente dependientes e independientes.

  • Determina si los siguientes 3 vectores tridimensionales tienen dependencia o independencia lineal:

 \vv{\text{u}} = (1,5,2)

 \vv{\text{v}} = (-2,3,-1)

 \vv{\text{w}} = (4,2,1)

En primer lugar, tenemos que plantear la condición de combinación lineal:

a_1\vv{\text{u}}+a_2\vv{\text{v}} + a_3\vv{\text{w}}=0

Ahora sustituimos cada vector por sus coordenadas. Al igual que el cero, que corresponde al vector nulo:

a_1(1,5,2)+a_2(-2,3,-1)+ a_3(4,2,1)=(0,0,0)

Los coeficientes están multiplicando a los vectores, por lo que la siguiente expresión es equivalente:

(a_1,5a_1,2a_1)+(-2a_2,3a_2,-a_2) + (4a_3,2a_3,a_3)=(0,0,0)

Hacemos la suma de vectores:

(a_1-2a_2+4a_3 \ , \ 5a_1+3a_2+2a_3 \ , \ 2a_1-a_2+a_3)=(0,0,0)

Si nos fijamos bien, la anterior expresión corresponde a 3 ecuaciones, ya que cada coordenada del vector de la izquierda debe ser igual a cada coordenada del vector de la derecha. Así que tenemos un sistema homogéneo de 3 ecuaciones con 3 incógnitas:

 \left. \begin{array}{l} a_1-2a_2+4a_3 = 0 \\[2ex] 5a_1+3a_2+2a_3 =0\\[2ex] 2a_1-a_2+a_3 = 0 \end{array} \right\}

De manera que lo único que debemos hacer es solucionar el sistema de ecuaciones cuyas incógnitas son a_1, a_2 y a_3. Para ello, puedes utilizar cualquier método (método de sustitución, método de Gaus, Regla de Cramer,…). Sin embargo, para saber si los vectores son LI o LD solo necesitamos determinar si existe una solución distinta a la solución trivial (todos los coeficientes iguales a cero). Por lo tanto:

  • Si el determinante de la matriz compuesta por las componentes de los vectores es diferente de cero, significa que el sistema de ecuaciones solo tiene una solución (a_1=a_2=a_3=\dots=0) y, en consecuencia, los vectores son linealmente independientes
  • En cambio, si el determinante de la matriz compuesta por las componentes de los vectores es igual a cero, implica que el sistema de ecuaciones tiene más de una solución y, en consecuencia, los vectores son linealmente dependientes.

De modo que lo único que se debe calcular es el determinante con las coordenadas de los vectores (como es un determinante 3×3 se puede resolver con la regla de Sarrus). Este determinante corresponde a los coeficientes del sistema de ecuaciones anterior:

 \displaystyle \begin{vmatrix} 1&-2&4\\[1.1ex] 5&3&2 \\[1.1ex] 2&-1&1 \end{vmatrix} = -37 \bm{\neq 0}

En este caso, el determinante es diferente de 0, por lo que los vectores son linealmente independientes.

Por tanto, la única solución posible del sistema de ecuaciones es la solución trivial con todas las incógnitas iguales a cero:

a_1=a_2=a_3=0

Propiedades de los vectores linealmente dependientes e independientes

La dependencia o independencia lineal de vectores posee las siguientes características:

  • Dos vectores proporcionales son paralelos y, en consecuencia, son linealmente dependientes porque tienen la misma dirección.
  • Del mismo modo, si dos vectores no tienen la misma dirección o no son proporcionales, estos son linealmente independientes.
  • Tres vectores coplanarios (que están en el mismo plano) son linealmente independientes.
  • El vector nulo (\vv{\text{v}}=(0,0,0)) es linealmente dependiente con cualquier vector.
  • Un conjunto de vectores linealmente independientes generan un espacio vectorial y forman una base vectorial. Si los tres vectores son perpendiculares se trata de una base ortogonal. Y si, además, su módulo es igual a 1 corresponde a una base ortonormal.

Ejercicios resueltos de dependencia e independencia lineal

A continuación dispones de varios ejercicios resueltos de vectores linealmente dependientes e independientes para practicar.

Ejercicio 1

Determina si los siguientes vectores son linealmente dependientes o independientes:

 \vv{\text{u}} = (1,-2,1)

 \vv{\text{v}} = (2,1,3)

 \vv{\text{w}} = (5,-1,1)

Primero planteamos la condición de combinación lineal:

a_1\vv{\text{u}}+a_2\vv{\text{v}} + a_3\vv{\text{w}}=0

a_1(1,-2,1)+a_2(2,1,3)+ a_3(5,-1,1)=(0,0,0)

(a_1,-2a_1,a_1)+(2a_2,a_2,3a_2) + (5a_3,-a_3,a_3)=(0,0,0)

(a_1+2a_2+5a_3 \ , \ -2a_1+a_2-a_3 \ , \ a_1+3a_2+a_3)=(0,0,0)

La igualdad anterior corresponde al siguiente sistema de ecuaciones lineales:

 \left. \begin{array}{l} a_1+2a_2+5a_3 = 0 \\[2ex] -2a_1+a_2-a_3 =0\\[2ex] a_1+3a_2+a_3 = 0 \end{array} \right\}

Una vez hemos planteado el sistema de ecuaciones, resolvemos el determinante de la matriz con sus términos:

 \displaystyle \begin{vmatrix} 1&2&5\\[1.1ex] -2&1&-1 \\[1.1ex] 1&3&1 \end{vmatrix} = -29 \bm{\neq 0}

En este caso, el determinante es distinto de 0, por lo tanto, los tres vectores son linealmente independientes entre sí.

 

Ejercicio 2

Clasifica los siguientes vectores en linealmente dependientes o independientes:

 \vv{\text{u}} = (1,4,3)

 \vv{\text{v}} = (-2,0,2)

 \vv{\text{w}} = (3,-1,-4)

En primer lugar planteamos la ecuación de la combinación lineal:

a_1\vv{\text{u}}+a_2\vv{\text{v}} + a_3\vv{\text{w}}=0

a_1(1,4,3)+a_2(-2,0,2)+ a_3(3,-1,-4)=(0,0,0)

(a_1,4a_1,3a_1)+(-2a_2,0,2a_2) + (3a_3,-a_3,-4a_3)=(0,0,0)

(a_1-2a_2+3a_3 \ , \ 4a_1-a_3 \ , \ 3a_1+2a_2-4a_3)=(0,0,0)

De la igualdad anterior obtenemos el siguiente sistema de ecuaciones homogéneo:

 \left. \begin{array}{l} a_1-2a_2+3a_3= 0 \\[2ex] 4a_1-a_3 =0\\[2ex] 3a_1+2a_2-4a_3 = 0 \end{array} \right\}

Una vez hemos planteado el sistema de ecuaciones, resolvemos el determinante de la matriz con las coordenadas de los vectores:

 \displaystyle \begin{vmatrix} 1&-2&3\\[1.1ex] 4&0&-1 \\[1.1ex] 3&2&-4 \end{vmatrix} \bm{= 0}

En este caso, el determinante es equivalente a 0, por lo tanto, los tres vectores son linealmente dependientes entre sí.

 

Ejercicio 3

De los tres vectores siguientes, indica qué parejas de vectores son linealmente dependientes y qué parejas son linealmente independientes.

 \vv{\text{u}} = (1,2,-2) \qquad \vv{\text{v}} = (2,4,-3) \qquad \vv{\text{w}} = (-4,-8,6)

La manera más fácil para saber si una pareja de vectores son linealmente dependientes o independientes es comprobar si son proporcionales.

Primero comprobamos el vector \vv{\text{u}} con el vector \vv{\text{v}} :

 \cfrac{1}{2} = \cfrac{2}{4} \neq \cfrac{-2}{-3} \ \longrightarrow \ \text{LI}

En segundo lugar, verificamos el vector \vv{\text{u}} con el vector \vv{\text{w}} :

 \cfrac{1}{-4} = \cfrac{2}{-8} \neq \cfrac{-2}{6} \ \longrightarrow \ \text{LI}

Finalmente, probamos el vector \vv{\text{v}} junto con el vector  \vv{\text{w}} :

 \cfrac{2}{-4} = \cfrac{4}{-8} = \cfrac{-3}{6} = -\cfrac{1}{2} \ \longrightarrow \ \text{Proporcionales}\ \longrightarrow \ \text{LD}

De manera que la única pareja de vectores que dependen linealmente entre sí son \vv{\text{v}} y \vv{\text{w}}. Además, su relación es la siguiente:

 \vv{\text{v}}= -\cfrac{1}{2} \vv{\text{w}}

O equivalentemente:

 \vv{\text{w}}= -2\vv{\text{v}}

Por otro lado, el resto de parejas de vectores son linealmente independientes.

 

Ejercicio 4

Estudia la dependencia o independencia lineal de los siguientes 4 vectores entre sí:

 \vv{\text{u}} = (0,1,2)

 \vv{\text{v}} = (-1,-2,0)

 \vv{\text{w}} = (4,1,-1)

 \vv{\text{x}} = (-2,-3,2)

Primero planteamos la condición de combinación lineal:

a_1\vv{\text{u}}+a_2\vv{\text{v}} + a_3\vv{\text{w}}+a_4\vv{\text{x}}=0

a_1(0,1,2)+a_2(-1,-2,0)+ a_3(4,1,-1)+a_4(-2,-3,2)=(0,0,0)

(0,a_1,2a_1)+(-a_2,-2a_2,0) +(4a_3,a_3,-a_3)+(-2a_4,-3a_4,2a_4)=(0,0,0)

(-a_2+4a_3-2a_4\ , \ a_1-2a_2+a_3-3a_4 \ , \ 2a_1-a_3+2a_4)=(0,0,0)

En este caso tenemos un sistema de 3 ecuaciones con 4 incógnitas:

 \left. \begin{array}{l} -a_2+4a_3-2a_4 = 0 \\[2ex] a_1-2a_2+a_3-3a_4 =0\\[2ex] 2a_1-a_3+2a_4 = 0 \end{array} \right\}

No podemos resolver el determinante de toda la matriz del sistema, ya que solo se pueden hacer determinantes de matrices cuadradas. De manera que debemos calcular todas las combinaciones posibles de determinantes 3×3 y ver si alguno es igual a 0, en cuyo caso los vectores serán linealmente dependientes, por contra, si todos los determinantes son diferentes de 0 los 4 vectores serán linealmente independientes.

Calculamos el determinante de los coeficientes a_1, a_2 y a_3:

 \displaystyle \begin{vmatrix} 0&-1&4\\[1.1ex] 1&-2&1 \\[1.1ex] 2&0&-1 \end{vmatrix} =13\bm{\neq 0}

El determinante de los 3 primeros coeficientes (o los 3 primeros vectores) da diferente de cero. Así que probamos ahora con el determinante de los coeficientes a_1, a_2 y a_4:

 \displaystyle \begin{vmatrix} 0&-1&-2\\[1.1ex] 1&-2&-3 \\[1.1ex] 2&0&2 \end{vmatrix} \bm{= 0}

Hemos obtenido un determinante nulo, con lo que no hace falta calcular los otros determinantes porque ya sabemos que los 4 vectores son linealmente dependientes.

 

Ejercicio 5

Calcula el valor de k para que los siguientes vectores sean linealmente independientes:

 \vv{\text{u}} = (3,-1,5)

 \vv{\text{v}} = (-2,4,7)

 \vv{\text{w}} = (1,3,k)

En primer lugar planteamos la ecuación de la combinación lineal:

a_1\vv{\text{u}}+a_2\vv{\text{v}} + a_3\vv{\text{w}}=0

a_1(3,-1,5)+a_2(-2,4,7)+ a_3(1,3,k)=(0,0,0)

(3a_1,-a_1,5a_1)+(-2a_2,4a_2,7a_2) + (a_3,3a_3,ka_3)=(0,0,0)

(3a_1-2a_2+a_3 \ , \ -a_1+4a_2+3a_3 \ , \ 5a_1+7a_2+ka_3)=(0,0,0)

De la ecuación vectorial anterior obtenemos el siguiente sistema de ecuaciones homogéneo:

 \left. \begin{array}{l}3a_1-2a_2+a_3= 0 \\[2ex] -a_1+4a_2+3a_3 =0\\[2ex] 5a_1+7a_2+ka_3 = 0 \end{array} \right\}

Una vez hemos planteado el sistema de ecuaciones, intentemos resolver el determinante del sistema:

 \displaystyle \begin{vmatrix} 3&-2&1\\[1.1ex] -1&4&3 \\[1.1ex] 5&7&k \end{vmatrix} =10k-120

El enunciado nos dice que los vectores deben ser linealmente dependientes. Por lo tanto, el determinante tiene que ser igual a cero:

 \displaystyle 10k-120=0

 \displaystyle 10k=120

 \displaystyle k=\cfrac{120}{10}

 \displaystyle \bm{k=12}

De modo que la constante tiene que valer 12 para que los vectores tengan dependencia lineal.

 

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